Bulova algebra. algebra logike. Elementi matematičke logike

U današnjem svijetu u kojem se sve više koriste razne mašine i gadgeta. I ne samo kada je to neophodno za primjenu doslovno nadljudsku snagu: potez da se teret podigne na visinu, kopaju duge i duboke rovu, itd Automobili danas prikupljaju robota, hrana je kuhana Multivarki i elementarne proračune aritmetika proizvesti kalkulatori ... Sve češće čujemo izraz "Bulova algebra". Možda je došlo vrijeme da shvate ulogu ljudskog bića u stvaranju robota i mašine mogućnost rješavanja ne samo matematički, već i logičke probleme.

logika

U grčkoj logici - uređen sistem mišljenja koji stvara odnos između datim uslovima i omogućava vam da zaključke na osnovu pretpostavke i procjene. Vrlo često, pitamo jedni druge: "Logično je da se" Odgovor potvrđuje naše pretpostavke ili kritikuje tok misli. Ali taj proces ne zaustavlja: nastavljamo da razgovaramo.

Ponekad je broj stanja (ulaz) je tako velika, kao i odnos između njih je toliko zbunjujuće i složen da ljudski mozak nije u stanju da "svari" sve odjednom. Možda će vam trebati više od mjesec dana (tjedan, godina) za razumijevanje onoga što se događa. Ali, modernog načina života nam ne daju ovim vremenskim intervalima da donose odluke. I mi smo pribjeći pomoć kompjutera. I to je ovdje da postoji algebra i logike, sa svojim zakonima i svojstva. Nakon preuzimanja svih originalnih podataka, omogućavaju da računar prepoznati sve odnose, eliminirati kontradiktornosti i da se pronađe zadovoljavajuće rješenje.

Matematika i logika

Poznati Gotfrid Vilgelm Leybnits formuliran pojam "matematičku logiku", koji zadaci su lako razumjeti samo mali krug naučnika. Od posebnog interesa je pravac nije izazvao, a do sredine XIX stoljeća matematičke logike poznat za nekoliko.

Veliki interes u naučnoj zajednici izazvao je spor u kojem je Englez Dzhordzh Bul proglasila svoju namjeru da osnuje filijalu matematike, nemaju apsolutno nikakve praktične koristi. Kao što znamo iz istorije, u ovom trenutku aktivno razvija industrijska proizvodnja, razvili smo sve vrste priključnih mašina, t. E. Sva naučna otkrića su imali praktičnu orijentaciju.

Gledajući unaprijed, mi kažemo da je Bulova algebra - najviše koristi u svijetu koja je danas dio matematike. Dakle, vaš argument Buhl izgubljen.

Dzhordzh Bul

Ličnost autora zaslužuje posebnu pažnju. Čak s obzirom na činjenicu da su u prošlosti ljudi odrastao pred nama, ipak treba napomenuti da je u 16 godina John. Buhl predavao na seoskoj školi, i do 20 godina otvorio svoju školu u Lincoln. Matematičar savršeno ovladao pet stranih jezika, au slobodno vrijeme, čitao djela Newton i Lagrange. I sve to - na sina običnog radnika!

1839., Buhl je poslao svoj prvi znanstvenih radova u Cambridge Mathematical Journal. Scientist okrenuo 24 godina. Bul rad je toliko zainteresovani članovi Kraljevskog društva, 1844. godine je dobio medalju za doprinos razvoju matematičke analize. Nekoliko objavljenih radova u kojima su elementi matematičke logike, matematike dozvoljeno mlade da preuzme mjesto profesora u College of Cork županije su opisani. Podsjetimo da se na samom Bul obrazovanje nije bilo.

ideja

U principu, Bulova algebra je vrlo jednostavna. Postoje izjave (logički izrazi) da je, sa stanovišta matematike, može se definirati samo u dvije riječi: "true" ili "false". Na primjer, drveće u proljeće cvatu - istina, u ljeto pada snijeg - laž. Ljepotu matematike je u tome što nije strogo potrebno koristiti samo brojeve. Za algebra presuda sasvim uklapa bilo kakve izjave sa jedinstvenim značenje.

Dakle, algebra logike se može koristiti doslovno svugdje: u raspored i pisanje instrukcija, analiza suprotne informacije o događajima i određivanje niza radnji. Ono što je najbitnije - da se shvati da nije bitno kako ćemo utvrditi istinu ili laž izjava. Iz tih "kako" i "zašto" treba da ignorišete. Ono što je važno je samo konstatacija: istina je laž.

Naravno, programiranje najvažnijih funkcija algebre logike koje su snimljene sa odgovarajućim znakova i simbola. I naučiti ih - to znači naučiti novi strani jezik. Ništa nije nemoguće.

Osnovni pojmovi i definicije

Ne ulazeći u dubinu, bavimo se terminologijom. Dakle, Bulova algebra pretpostavlja:

• izjava;
• logičke operacije;
• funkcije i zakonima.

Izjave - bilo afirmativne izraz koji se može tumačiti dva-vrijednosti. Oni su pisani kao brojeve (5> 3) ili formuliran poznate reči (slon - najveći sisara). U ovom slučaju, izraz "vrat žirafa je ne" ima pravo da postoji, samo Bulova algebra definirati kao "laž".

Sve izjave bi trebao biti nedvosmislen, ali mogu biti osnovni ili spoj. Nedavni korištenje logično paket. E. U spoj algebre izjave presude koju je formirao dodatak osnovne logičke operacije.

Bulova algebra operacije

Već smo se da operacije u algebra presuda - logično. Baš kao što je algebra brojeva pomoću aritmetičke operacije za sabiranje, oduzimanje, ili uporediti brojke, matematičke logike elemenata omogućavaju da složene izjave, da negira ili izračunati konačni rezultat.

Logičke operacije za formalizaciju i jednostavnost izražava formulom, poznato nam u aritmetici. Svojstva Bulova algebra jednadžbe čine ga moguće snimiti i izračunati nepoznato. Logičke operacije se obično bilježe stola istinu. Njegovi elementi definiraju kolone i računarstva operaciju koja se izvodi na njima, a redovi pokazuju rezultat proračuna.

Osnovnu logiku djelovanja

Najčešće u Bulova algebra operacije negacije (NE), a logično AND i OR. Dakle, moguće je opisati praktično sve korake u algebra presuda. Proučavali smo detaljno svaku od tri operacije.

Negacija (ne) se primjenjuje na samo jedan element (operand). Stoga, operacija se zove unarnog negacija. Za snimanje koncept "ne" koriste takve simbole: ¬A, A ili A !. U tabelarnom obliku to izgleda ovako:

Funkcija poricanja tipično za takvu izjavu: ako je A istina, onda A - lažna. Na primjer, Mjesec okreće oko Zemlje - istinu; Zemlja okreće oko Meseca - laž.

Logički množenje i dodatak

Logično i rad se zove zajedno. Šta to znači? Prvo, da se može primijeniti na dva operanda, tj, ja - .. Binarna operacija. Drugo, to je samo u slučaju istinitosti oba operanda (A i B) je istinito i sama izraz. Poslovica, "Strpljenje i malo truda" podrazumijeva da su samo dva faktora može pomoći osoba nosi sa teškoćama.

simboli se koriste za snimanje: A∧B, A⋅B ili && B.

Zajedno je slično razmnožavanju u aritmetici. Ponekad i reći - logično množenje. Ako pomnožimo elemente redova tabele, dobijamo rezultat sličan logičko razmišljanje.

Razdvajanje je logična ili operacija. Istina je da ako barem jedna od izjava je istinita (ili A ili B). To je napisano ovako: A∨B, A + B ili A || B. stola istina za ove operacije su:

Disjunkcija slične aritmetika toga. logičke operacije toga ima samo jedno ograničenje: 1 + 1 = 1. Ali zapamtite da u digitalnom formatu ograničen je na matematičkoj logici 0 i 1 (gdje je 1 - istina, 0 - false). Na primjer, izraz "u muzeju možete vidjeti remek ili pronaći dobro društvo" znači ono što možete vidjeti umjetnička djela, a moguće je da ispuni zanimljiva osoba. U isto vrijeme, ne isključuju mogućnost istovremenog ispunjenja oba događaja.

Funkcije i zakoni

Dakle, mi već znamo šta je logično operaciju koristeći Bulova algebra. Funkcije opisati sva svojstva elemenata matematičke logike, i dozvolite nam da se pojednostavi složene složene izraze. Najviše jasan i jednostavan čini odbacivanje u vlasništvu operacija derivata. Po derivati su shvatili XOR, implikacija i ekvivalencija. Kao što smo pročitali samo uz osnovne operacije, a zatim je imovina ih i uzeti u obzir samo.

Asocijativnost znači da je u izjavama kao što su "A i B, a B 'slijed popis od operanada nije bitno. Formula je napisana kako slijedi:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Kao što možete vidjeti, to nije jedinstven za sprezi ali razdvajanje.

Komutativnosti tvrdi da je rezultat zajedno ili razdvajanje ne zavisi na kojem je stavka u obzir na početku:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Distributivnost omogućava otkriti zagradama kompleks logički izrazi. Pravila su slična otvorene zagrade u množenje i dodatak u algebra:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

Jedinica svojstva i ogrebotine, što može biti jedan od operandi takođe slične na algebarskih množenje s nulom ili jedan, i pored jedinice:

A∧0 = 0, A∧1 = A; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotency nam govori da ako je isti relativno dva jednaka operandi je rezultat operacije, možete "baciti" višak komplicirati obrazloženje operandi. I zajedno i disjunkciju operacije idempotentna.

B∧B = B; B∨B = B.

Akvizicija također nam omogućava da pojednostavi jednadžbe. Apsorpcija navodi da kada se izraz primjenjuje se na jedan operand, još jednu operaciju sa istim element operand rezultat se apsorbuje rad.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

slijed operacija

Redoslijed operacija je od velikog značaja. Zapravo, kao i za algebru, postoji funkcija prioritet koji koristi Bulova algebra. Formule se može pojednostaviti predmet samo na značaj operacije. Rangiranje od najznačajnijih na zanemarljiv, dobivamo sljedeći način:

1. poricanja.

2. Konjukcija.

3. disjunkciju, XOR.

4. implikacija, ekvivalencija.

Kao što možete vidjeti, samo negaciju zajedno i nemaju jednak prioritet. Prioritet disjunkciju i XOR su jednaki, kao i prioritete implikacije i ekvivalencije.

Funkcije implikacije i ekvivalencije

Kao što smo rekli, pored osnovne logičke operacije, matematičke logike i teorije algoritama pomoću derivata. To je najčešće implikacija i ekvivalencija.

Implikacija ili logična posljedica - ovu izjavu, u kojoj jedna akcija je stanju, a drugi - rezultat njegove implementacije. Drugim riječima, ovaj prijedlog sa izgovorom "ako ... onda". "Nakon večere dolazi obračuna." E. Za pogon će biti zategnuti na sankama brdu. Ako ne postoji želja da se kreću niz od planine, a zatim povucite sanke nije potrebno. Je napisano tako: A → B ili A⇒B.

Ekvivalencije implicira da je neto efekt javlja samo kada su oba operanda istina. Na primjer, noć ustupa dan onda (i samo tada), kada Sunce izlazi na horizontu. Na jeziku matematičke logike u ovoj izjavi je napisano kao A≡B, A⇔B A == B.

Drugim zakonima Bulova algebra

Algebra presuda razvija, a mnogi zainteresovani naučnici formulirati nove zakone. Najpoznatiji smatraju postulira škotski matematičar O. De Morgan. On je primijetio i dao definiciju takvih svojstava kao bliski negacija, toga i dvostruko negativan.

Zatvori poricanje sugerira da je prije zagrada to nema sumnje: nije (A ili B) = nije A ili B. NE

Kada je operand odbijen, bez obzira na njegovu vrijednost, kažu o dodatak:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

I na kraju, sama dvostruko negacija kompenzira. Ie prije ili operand negacija nestaje ili ostaje samo jedan.

Kako riješiti testove

Logika podrazumijeva pojednostavljenje predodređen jednadžbe. Baš kao u Lie algebre, neophodno je da se maksimalno olakšati prvi uvjet (da riješi komplikovane ulaznih operacija, a sa njima), a zatim početi u potrazi za ispravan odgovor.

Šta da radim da se pojednostavi? Pretvoriti sve derivate u jednostavan način. Onda otkriti sve zagradama (ili obrnuto, kako bi zagrade da se smanji taj element). Sljedeći korak bi trebao biti da koristite Bulova algebra svojstva u praksi (svojstva apsorpcije nula i jedan, i t.).

Na kraju krajeva, jednačina treba da se sastoji od minimalnog broja nepoznanica, u kombinaciji sa jednostavnim operacijama. Najlakši način da traže rješenje, ako napravite veliki broj bliskih negativa. Tada će odgovor iskočiti kao da sam od sebe.