Dijagonala jednakostraničnog trapeza. Ono što je sredinom linija trapeza. Vrste trapezoidima. Trapez - to ..

Trapez - poseban slučaj četvorougao, u kojoj je jedan par strana je paralelno. Termin "trapeza" potiče od grčke riječi τράπεζα, što znači "sto", "sto". U ovom članku ćemo pogledati na vrste trapeza i njegovih svojstava. Također, gledamo kako izračunati pojedinačne elemente geometrijske figure. Na primjer, dijagonale jednakostraničnog trapeza, srednja linija, površina i dr. Materijal koji se nalazi u osnovnoj geometrije popularan stil, t. E. U lako pristupačan način.

pregled

Prvo, da se razumemo šta je cetvorougao. Ova brojka je poseban slučaj poligona ima četiri strane i četiri vrhova. Dva temena četverostrana, koji nisu susjedni, zovu suprotno. Isto se može reći i za dva nesusednih strane. Glavne vrste quadrangles - paralelograma, pravougaonik, romb, kvadrat, trapeza i deltoidni.

Vratimo se na trapez. Kao što smo rekli, ova brojka dvije strane su paralelne. Oni su pod nazivom baze. Druga dva (ne-paralelni) - sa strane. Materijala iz raznih pregleda i ispitivanja često možete upoznati izazova povezanih s trapezoidima čije rješenje često zahtijeva znanja studenata koji nisu obuhvaćeni programom. Škola geometrija predmeta uvodi učenike sa uglovima svojstvima i dijagonalama kao i srednja linija jednakokrakog trapeza. Ali osim toga pozvao na geometrijski oblik ima i druge funkcije. Ali o njima kasnije ...

vrste trapez

Postoje mnoge vrste ove cifre. Međutim, najčešće uobičajeno da razmotre dva od njih - jednakokračan i pravokutnog oblika.

1. Pravokutni trapeza - figura u kojoj je jedan od strane okomito na bazu. Ona ima dva ugla su uvijek jednaki devedeset stupnjeva.

2. jednakokračan trapez - geometrijske figure čije strane su jednaki. Dakle, a uglovi na bazi također su jednaki.

Glavni principi metoda za proučavanje svojstava trapeza

Osnovni principi uključuju korištenje tzv zadatak pristup. U stvari, nema potrebe da uđe u kurs teorijskog Geometrija novih svojstava ove cifre. Oni mogu biti otvorene ili u procesu formuliranja raznih zadataka (bolji sistem). Veoma je važno da nastavnik zna šta zadataka koje je potrebno da se stavi pred studentima u svakom trenutku procesa učenja. Osim toga, svaki trapeza imovine može predstaviti kao ključni zadatak u sistemu zadatak.

Drugi princip je tzv spirala organizacija studije "izvanredan" trapez svojstva. To podrazumijeva povratak u proces učenja na individualne karakteristike geometrijske figure. Dakle, studenti lakše ih se sjećam. Na primjer, u vlasništvu četiri boda. To se može dokazati kao u studiji sličnosti, a zatim pomoću vektora. A Jednak trouglova graniči sa strane na slici, moguće je dokazati pomoću ne samo svojstva trokuta sa jednakim visinama vodi sa strane koji leže na ravnoj liniji, ali i po formuli S = 1/2 (ab * sinα). Osim toga, moguće je razraditi zakon sines na upisan trapeza ili pravouglog trougla i trapeza je opisano u t. D.

Korištenje "vannastavne" ima geometrijski lik u sadržaju škole, naravno - a zadužuje svoju tehnologiju nastave. Konstantna referenca za proučavanje svojstava prolazak druge omogućava studentima da nauče trapez dublje i osigurava uspjeh zadatka. Dakle, mi se posvetimo ovog izuzetnog figuru.

Elementi i svojstva jednakokrakog trapeza

Kao što smo naveli, u ovom geometrijska figura strane su jednaki. Ipak, to je poznata kao pravo trapeza. A šta je to tako izvanredan i zašto dobio ime? Posebne karakteristike ta brojka se odnosi da ona ima ne samo ravnopravan stranica i uglova u bazi, već i dijagonalno. Osim toga, zbir uglova jednakokrakog trapeza jednaka 360 stupnjeva. Ali to nije sve! Samo oko jednakokračan se može opisati krug svih poznatih trapezoidima. To je zbog činjenice da je zbir suprotnih uglova na ovoj slici je za 180 stupnjeva, a samo pod ovo stanje može se opisati kao krug oko četvorougao. Sljedeća svojstva geometrijske figure je da je udaljenost od vrha baze projekciji suprotne vrhove na liniji koja sadrži ova baza će biti jednaka liniji.

Sada pogledajmo kako pronaći uglovima jednakokrakog trapeza. Razmotrimo rješenje za ovaj problem, pod uvjetom da je veličina stranaka poznata ličnost.

odluka

Uobičajeno je da označi četvorougao slovima A, B, C, D, gdje BS i BP - temelj. U jednakokračan trapeza strane su jednaki. Pretpostavljamo da je njihova veličina je jednaka X i Y dimenzije su baze i Z (manji i veći, respektivno). Za izračunavanje ugla o potrebi da provede u visini H. Rezultat je pravouglog trougla ABN gdje AB - hipotenuze, i BN i AN - noge. Izračunajte veličinu noge AN: oduzmite od većih baze minimalna, a rezultat je podijeljena 2. pisanja formuli: (ZY) / 2 = F. Dakle, za izračunavanje oštrim uglom od upotrebe trokuta funkcije cos. Dobijamo sljedeći unos: cos (β) = X / F. Sada izračunati kut: β = Arcos (X / F). Nadalje, znajući jednom uglu, možemo odrediti i drugo, da bi ovo osnovne aritmetičke operacije: 180 - β. su definirani svih uglova.

Tu je i drugi rješenje ovog problema. Na početku je izostavljen iz kornera u visini nogu N. izračunava vrijednost BN. Znamo da je kvadrat hipotenuze pravouglog trougla jednak je zbiru kvadrata druge dvije strane. Dobijamo: BN = √ (X2 F2). Dalje, koristimo trigonometrijska funkcija tg. Rezultat je: β = arctg (BN / F). Oštrim uglom je pronađeno. Dalje, definišemo tup ugao kao iu prvom metodom.

Imovina dijagonale jednakokrakog trapeza

Prvo, pišemo četiri pravila. Ako je dijagonala u jednakokrakog trapeza su okomito, a zatim:

- visina brojka je jednaka sumi baza, podijeljena dva;

- njegova visina i srednje linije su jednaki;

- površina trapeza jednaka je kvadratu visine (središnje linije do pola baze);

- kvadrat dijagonale kvadrata je jednako polovini zbiru dva kvadrata baze ili srednje linije (visina).

Sada pogledajte formulu definiranja dijagonale jednakostraničnog trapeza. Ovaj podatak može se podijeliti na četiri dijela:

1. Formula dužine dijagonale kroz svoju stranu.

Pretpostavljamo da je A - nižu osnovicu, B - Top, C - jednake strane, D - dijagonala. U ovom slučaju, dužina se može odrediti na sljedeći način:

D = √ (C 2 + A * B).

2. Formula za dijagonale dužine kosinus.

Pretpostavljamo da je A - nižu osnovicu, B - Top, C - jednake strane, D - dijagonala, α (u donjem baza) i β (gornji osnovice) - trapeza uglovima. Dobijamo sljedeće formule, po kojoj se može izračunati dužinu dijagonale:

- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosα);

- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosβ);

- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosβ);

- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosα).

3. Formula dijagonale dužine jednakokrakog trapeza.

Pretpostavljamo da je A - nižu osnovicu, B - gornji, D - dijagonala, M - srednja linija H - visina, P - površina trapeza, α i β - kut između dijagonala. Odredite dužinu od sljedećih formula:

- D = √ (M2 + N2);

- D = √ (H 2 + (A + B) 2/4);

- D = √ (N (A + B) / sinα) = √ (2n / sinα) = √ (2M * N / sinα).

Za ovaj slučaj, jednakost: sinα = sinβ.

4. Formula dužine dijagonale kroz stranice i visine.

Pretpostavljamo da je A - nižu osnovicu, B - Top, C - strane, D - dijagonala, H - visina, α - ugao sa nižim baze.

Odredite dužinu od sljedećih formula:

- D = √ (H 2 + (A-P * ctgα) 2);

- D = √ (H 2 + (B + F * ctgα) 2);

- D = √ (A2 + S2-2A * √ (C2-H2)).

Elementi i svojstva pravokutnog trapeza

Pogledajmo što su zainteresirani za ovu geometrijsku figuru. Kao što smo rekli, imamo pravokutnog trapeza dva prava ugla.

Osim klasičnih definicija, postoje i drugi. Na primjer, pravokutnog trapeza - trapezoidnog u kojem je jedna strana okomito na bazu. Ili oblike koje imaju na strani uglovima. U ovoj vrsti visine trapezoidima je strana koja je okomita na baze. Srednje linije - segment koji povezuje središta dvije strane. Imovina rekao element je da je paralelno sa bazama i jednako polovini njihov zbroj.

Sada razmotrimo osnovne formule koje definiraju geometrijskim oblicima. Da biste to učinili, pretpostavljamo da A i B - baza; C (okomito na bazu) i D - strane pravokutnog trapeza, M - srednje linije, α - mrtvog ugla, P - površina.

1. strana okomito na bazama, što je cifra koja je jednaka visini (C = N), a jednaka dužini drugu stranu A i sinus kuta α na većoj bazi (C = A * sinα). Osim toga, ona je jednaka je proizvodu tangens mrtvog ugla α, a razlika u bazama: C = (A-B) * tgα.

2. strana D (ne okomito na bazu) jednaka količnik razlike A i B i kosinus (α) ili mrtvog ugla privatnog visine brojke H i sinusa mrtvog ugla: A = (A-B) / cos α = C / sinα.

3. strana koja je okomita na bazama, jednaka je kvadratni korijen kvadrata razlike D - druga strana - i kvadratnom osnovom razlike:

C = √ (q2 (A-B) 2).

4. Strana A pravokutnog trapeza jednaka je kvadratni korijen kvadrata sume kvadrata strane i C baze geometrijski oblik razlika: D = √ (C 2 + (A-B) 2).

5. strana C jednaka je količnik trga dvostrukog iznosa njene baze: C = P / M = 2P / (A + B).

6. području određenom M proizvod (središnje linije pravougaoni trapeza) u visini ili lateralni pravac okomit na baze: P = M * N = M * C.

7. Postavite C je kvocijent dva puta kvadratnog oblika sa proizvodom sinus mrtvog ugla i zbira svojih baza: C = P / M * sinα = 2P / ((A + B) * sinα).

8. Formula strani pravokutnog trapeza kroz dijagonala, a ugao između njih:

- sinα = sinβ;

- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sinα = (D1 * D2 / (A + B)) * sinβ,

gdje D1 i D2 - dijagonala trapeza; α i β - kut između njih.

9. strani Formula kroz ugao na nižu osnovicu i drugi: A = (A-B) / cosα = C / sinα = H / sinα.

Budući da trapeza sa pravim uglom je poseban slučaj trapeza, s druge formule koje određuju ove brojke, će se sastati i pravokutnog oblika.

svojstva upisani krug

Ako je uslov je rekao da je u pravougaoni trapeza upisanog kruga, onda možete koristiti sljedeća svojstva:

- iznos osnovice je suma sa strane;

- udaljenost od vrha pravokutnog oblika do točke tangens upisanog kruga je uvijek jednak;

- visina trapeza jednaka u stranu, okomito na baze, a jednak prečniku kruga ;

- krug centar je tačka u kojoj se seku simetrale uglova ;

- ako bočne strane osoba za kontakt je podijeljena na dužine N i M, onda je radijus kruga jednaka kvadratnom korijenu proizvoda ovih segmenata;

- četvorougao formira dodirnih tačaka, na vrhu trapeza i centar upisanog kruga - to je kvadrat, na čijoj je jednak radijus;

- površina figura je proizvod razuma i proizvoda od pola sume baza na svom vrhuncu.

slična trapez

Ova tema je vrlo koristan za proučavanje svojstava geometrijskih figura. Na primjer, dijagonala split u četiri trougla trapeza, i da su uz baze kao što su, i sa strane - jednake. Ova izjava može nazvati imovine trokuta, što je slomljena trapez svoje dijagonalama. U prvom dijelu ove izjave je dokazano kroz znak sličnosti dva ugla. Da bi se dokazalo drugi dio bolje je koristiti metodu navedene u nastavku.

dokaz

Prihvati ta cifra ABSD (AD i BC - osnovu trapeza) je slomljena dijagonale HP i AC. Tačka presjeka - O. Imamo četiri trougla: AOC - na donjoj bazi, BOS - gornji osnovice, ABO i SOD sa strane. Trouglova SOD i biofeedback imaju zajednički visinu u tom slučaju, ako segmentima BO i OD su svoje baze. Nalazimo da je razlika njihovih područja (P) jednak razlici tih segmenata: PBO / PSOD = BO / ML = K. Prema tome, PSOD = PBO / K. Slično tome, trokuta AOB i biofeedback imaju zajednički visine. Prihvaćen za svoju bazu segmente SB i OA. Dobijamo PBO / PAOB = CO / OA = K i PAOB = PBO / K. Iz toga slijedi da PSOD = PAOB.

Za konsolidaciju materijala studenti su ohrabreni da pronađe vezu između područja trouglova dobiti, što je slomljena trapez svoje dijagonale, odlučujući naredni zadatak. Poznato je da trouglova BOS i ADP područja su jednaki, potrebno je pronaći područje trapeza. Od PSOD = PAOB, onda PABSD PBO + = PAOD + 2 * PSOD. Od sličnosti trouglova BOS i ANM slijedi da BO / OD = √ (PBO / PAOD). Shodno tome, PBO / PSOD = BO / OD = √ (PBO / PAOD). Dobiti PSOD = √ (* PBO PAOD). Onda PABSD PBO + = PAOD + 2 * √ (PAOD PBO *) = (+ √PBOS √PAOD) 2.

svojstva sličnosti

Nastavlja da razvija ovu temu, to je moguće dokazati, i drugih zanimljivih karakteristike trapezoidima. Dakle, uz pomoć sličnost može dokazati segment imovine, koja prolazi kroz tačku koju je formirao sjecištu dijagonala geometrijske figure, paralelno sa zemljom. Za ovaj smo riješiti sljedeći problem: to je potrebno pronaći dužine RK segment koji prolazi kroz tačku O. Iz sličnosti trouglova ADP i SPU slijedi da je AO / OS = AD / BS. Od sličnosti trouglova ADP i ASB slijedi da AB / AC = PO / AD = BS / (BP + BS). To podrazumijeva da je BS * PO = AD / (AD + BC). Isto tako, iz sličnosti trouglova MLC i ABR slijedi to u redu * BP = BS / (BP + BS). To podrazumijeva da je OC i RC = RC = 2 * BS * AD / (AD + BC). Segment prolazi kroz točku križanja dijagonala paralelno u bazu i povezuje dvije strane, točku križanja je podijeljena na pola. Njegova dužina - je harmonijska sredina brojke razloga.

Uzmite u obzir sljedeće karakteristike trapeza, koji se zove imovina četiri boda. tačka presjeka dijagonala (D), presjek nastavka strane (E), kao i sredinom baze (T i G) uvijek leže na istoj liniji. To je lako dokazati metodom sličnosti. Rezultirajući trokuta su slične BES i AED, a svaki uključujući medijana ET i DLY podijeliti Apex ugao E u jednakim dijelovima. Stoga, tačka E, T i F su kolinearne. Isto tako, na istoj liniji su raspoređeni u smislu T, O, i G. To slijedi iz sličnosti trouglova BOS i ANM. Stoga zaključujemo da su sva četiri termina - E, T, O i F - će ležati na ravnoj liniji.

Koristeći slične trapezoidima, može ponuditi studentima da pronađu dužine segmenta (LF), koja deli figura u dva slično. Ovaj rez mora biti paralelno sa bazama. S obzirom da je dobio trapezoidne ALFD LBSF i slično, BS / LF = LF / AD. To podrazumijeva da LF = √ (BS * BP). Zaključujemo da je segment koji se dijeli na dva trapeza kao, ima dužinu koja je jednaka geometrijska sredina dužine od osnova shvatiti.

Razmotrite sljedeće sličnost imovine. Ona se zasniva na segment koji deli trapeza na dva dijela jednake veličine. Prihvatiti da trapez ABSD segment je podijeljen na dva slična EH. Sa vrha B snizio visinu taj segment je podijeljen na dva dijela SR - B1 i B2. Dobiti PABSD / 2 = (BS + EH) * V1 / 2 = (AP + EH) * B2 / 2 = PABSD (BP + BS) * (B1 + B2) / 2. Dalje sastaviti sistem, pri čemu prva jednadžba (BS + EH) * B1 = (BP + EH) * B2 i drugi (BS + EH) * B1 = (BP + BS) * (B1 + B2) / 2. Iz toga slijedi da B2 / B1 = (BS + EH) / (BP + EH) i BS + EH = ((BS + BP) / 2) * (1 + B2 / B1). Smatramo da je dužina podjele trapeza na dva jednaka, jednaka prosječnoj dužine kvadratne osnove: √ ((CN2 + AQ2) / 2).

sličnost zaključke

Dakle, mi smo dokazali da:

1. segment povezuje sredinom trapeza na bočnim stranama, paralelno sa BP i BS i BS je aritmetičke sredine i (dužina baze trapeza) BP.

2. Bar koja prolazi kroz tačku O presjeka dijagonala paralelnog AD i BC će biti jednak harmonijska sredina brojeva BP i BS (2 * BS * AD / (AD + BC)).

3. segment razbijanje u sličnim trapeza ima dužinu geometrijska sredina baze BS i BP.

4. element koji dijeli oblik na dva jednaka veličini, dužini znači trg brojevi BP i BS.

Za konsolidaciju materijala i svijest o povezanosti između segmenata student je potrebno da ih izgraditi za određenu trapeza. On može lako prikazati u prosjeku linije i segment koji prolazi kroz tačku - presjek dijagonala figura - paralelno sa zemljom. Ali, gdje će biti treći i četvrti? Ovaj odgovor će dovesti studenta do otkrića nepoznatog odnosa između prosječnih vrijednosti.

Segment spajanje središta dijagonala trapeza

Razmotrite sljedeće svojstvo figure. Mi smo prihvatili da je MN segment je paralelno sa bazama i podijeliti na pola dijagonalno. tačke preseka se zove W i S. Ovaj segment će biti jednak polovini razlike razloga. Razmotrimo ovo više detalja. MSH - prosječna linija trougla ABS, ona je jednaka BS / 2. Minigap - srednje linije trougla DBA, ona je jednaka AD / 2. Onda vidimo da SHSCH = minigap-MSH stoga SHSCH = AD / 2-BS / 2 = (AD + BC) / 2.

centar ravnoteže

Pogledajmo kako definirati element za dati geometrijske figure. Da biste to učinili, morate proširiti bazu u suprotnim smjerovima. Šta to znači? Potrebno je dodati bazu na gornji dno - na bilo koju od stranaka, na primjer, na desnoj strani. Niži produžiti trajanje gornjem lijevom. Zatim povežite svoje dijagonale. Tačka presjeka ovog segmenta sa središnje linije na slici je centar gravitacije trapeza.

Upisane i opisane trapez

Hajde da lista ima takve brojke:

1. linija može biti upisan u krug samo ako je jednakokračan.

2. Oko kruga se može opisati kao trapeza, pod uslovom da je suma dužina njihovih baza je suma dužina sa strane.

Posljedice upisanog kruga:

1. visina trapeza opisani uvijek jednak dva puta radijus.

2. strana trapeza opisana su iz centra kruga pod pravim uglom.

Prva posljedica je očigledna, i da dokaže drugi je potrebno da se utvrdi da je ugao SOD je direktna, to jest, u stvari, i neće biti lako. Ali znanje ove nekretnine omogućuje vam da koristite pravouglog trougla za rješavanje problema.

Sada smo navesti posljedice za jednakokračan trapeza, koji je upisan u krug. Dobijamo da je visina je geometrijska sredina figura baze: H = 2R = √ (BS * BP). Ispunjavanje osnovni način rješavanja problema za trapezoidima (princip dve visine), učenik mora riješiti sljedeći zadatak. Prihvati da BT - visina jednakokrakog brojke ABSD. Morate pronaći proteže AT i AP. Primjenom formule gore, to će učiniti opisano nije teško.

Sada ćemo objasniti kako odrediti radijus kruga sa područja opisanih trapeza. Izostavljena iz vrha visine B na bazi BP. S obzirom da je krug upisan u trapeza, BS + 2AB = BP ili AB = (BS + BP) / 2. Iz trougla ABN otkriće sinα = BN / 2 * AB = BN / (AD + BC). PABSD = (BS + BP) BN * / 2, BN = 2R. Dobiti PABSD = (BP + BS) * R, slijedi da je R = PABSD / (AD + BC).

.

Sve formule midline trapez

Sada je vrijeme da ide u posljednje stavke ove geometrijske figure. Mi ćemo shvatiti, što je sredinom linija trapeza (M):

1. Kroz baze: M = (A + B) / 2.

2. Nakon visine, baza i uglovima:

• M-H = A * (ctgα + ctgβ) / 2;

• M + H = D * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Kroz visine i dijagonalni kut therebetween. Na primjer, D1 i D2 - dijagonala trapeza; α, β - kut između njih:

M = D1 * D2 * sinα / 2 H = D1 * D2 * sinβ / 2h.

4. U oblasti i visina: M = R / N.