Fourierov red: povijest i utjecaj matematičkih mehanizma za razvoj nauke

Fourier series - ovaj pogled proizvoljno odabrana funkcija na razdoblje za redom. U opštem smislu, ovo rješenje se zove element ekspanzije na ortogonalni osnovi. Ekspanzija funkcije u Fourierov red je prilično moćan alat za rješavanje različitih problema zbog svojstva transformacije u integraciji, diferencijacija, kao i pomak u izrazu argument i vijuga.

Osoba koja ne poznaje više matematike, kao i sa radovima francuskih naučnika Fourier, najvjerovatnije neće shvatiti šta "redovima", a ono što oni rade. Ipak, ova transformacija je prilično čvrsto ušao naše živote. Koristi se ne samo matematike, nego i fizičari, kemičari, doktori, astronomi, seizmolozi, okeanografa i drugi. Uzmimo i izbliza sa radovima velikog francuskog naučnika koji su došli do otkrića, ispred svog vremena.

Muškarca i Fourierova transformacija

Fourierov red je jedna od metoda (zajedno sa analizom i drugi) od Fourierove transformacije. Ovaj proces se odvija svaki put kad osoba čuje nikakav zvuk. Naša uho automatski pretvara zvuk talasa. Oscilatorna kretanje elementarnih čestica u elastičnom medij se proširio u seriji (spektra) uzastopnih vrijednosti zvuka tonova različitih visina. Dalje, mozak pretvara ove podatke u poznati zvuk za nas. Sve ovo je, pored naše želje ili sama svijest, ali da bi se razumjeti procese koji se nekoliko godina da studira više matematike.

Pročitajte više o Fourierove transformacije

Fourierova transformacija se može izvesti analitičke, brojeva i drugih metoda. Fourierov red su numerički postupak za raspadanju bilo oscilirajući procese - od oceanske plime i valova svjetlosti solarne cikluse (i drugih astronomskih objekata) aktivnost. Koristeći ove matematičke tehnike, moguće je rastaviti funkciju, predstavlja bilo oscilatorno procese u brojnim sinusnih komponenti koje idu od minimuma do maksimuma i obrnuto. Fourierova transformacija je funkcija opisuje faze i amplitude sinusoida odgovaraju određenoj frekvenciji. Ovaj proces se može koristiti za rješavanje vrlo složenih jednadžbi koje opisuju dinamičan procesa koji se odvijaju pod djelovanjem topline, svjetlosti ili električne energije. Također, Fourierov red se koristi za razlikovanje DC komponente kompleks valnih oblika, tako da je moguće ispravno protumačiti eksperimentalne zapažanja u medicini, hemije i astronomije.

istorijske informacije

Rodonačelnika ove teorije je francuski matematičar Zhan Batist Zhozef Fure. Njegovo ime kasnije i ove transformacije je bio pozvan. U početku, naučnici su koristili tehniku za proučavanje i objasniti mehanizme toplotne provodljivosti - toplota propagacije u čvrste materije. Fourier je predložio da je početna nepravilan distribuciju toplotne talasa se može rastaviti na proste sinusoida, od kojih će svaka imati svoju temperaturu minimum i maksimum, kao i njegove faze. Tako je svaki takav komponentu koja se mjeri od minimuma do maksimuma i obrnuto. Matematičke funkcije koja opisuje gornje i donje vrhove krive, kao i faze svakog harmonika, pod nazivom Fourierova transformacija distribucije temperature izražavanja. Autor teorije smanjene ukupne distribucije funkcija koje je teško matematički opis, u vrlo jednostavan za rukovanje niz periodičnih funkcija sinus i kosinus, u iznosu od davanja početne distribucije.

Princip konverzije i stavove savremenika

Savremenici naučnik - vodeći matematičara početkom devetnaestog stoljeća - nije prihvatio ovu teoriju. Glavni prigovor je odobrenje Fourier da diskontinualnog funkcija opisuje ravnoj liniji ili kriva je oštećen, može se predstaviti kao zbir sinusnih izraza koji su kontinuirano. Kao primjer, razmislite o "step" Heaviside: njegova vrijednost je nula lijevo jaza i jedan sa desne strane. Ova funkcija opisuje ovisnost struje o vremenu varijabla za lanac zatvaranje. Suvremene teorije u to vrijeme, nikada nije naišao takvoj situaciji, kada bi diskontinuirani izraz može opisati kombinacijom kontinuirano, zajedničke funkcije, kao što su eksponencijalni, sine, linearne ili kvadratne.

Ono što smeta francuskog matematičara u teoriji Fourier?

Uostalom, ako je matematičar bio u pravu da se raspravlja, a zatim, rezimirajući beskonačan trigonometrijski Fourierov red, to je moguće dobiti precizan prikaz korak izražavanja, čak i ako ima niz slične korake. U ranom devetnaestom stoljeću, ova izjava činilo apsurdno. Ali bez obzira na sve sumnje, mnogi matematičari proširili opseg proučavanja ovog fenomena, što ga izvan termalnih conduction studije. Međutim, većina naučnika nastavio da pati pitanje: "Može li zbroj sinus red konvergira na tačnu vrijednost diskontinuirano funkcije"

Konvergencija Fourier serije: primjer

Pitanje konvergencije raste svaki put kad je potrebno zbir beskonačnog niza brojeva. smatraju klasičan primjer za razumijevanje ovog fenomena. Možeš li ikada do zida, ako je svaki korak je pola prethodne? Pretpostavimo da su dva metra od gola, prvi korak bliže oko pola puta, sljedeći - znak tri četvrtine, a nakon petog ćete prevazići gotovo 97 posto puta. Međutim, bez obzira na to koliko koraka ste učinili ni je meta dođete u strogom matematičkom smislu. Koristeći numeričke proračune, možemo dokazati da na kraju može biti bliže proizvoljno male s obzirom na daljinu. Ovo je ekvivalentno dokaz pokazuje da je ukupna vrijednost jedne polovine, jedna četvrtina, i tako dalje. E. će težiti jedinstvu.

Pitanje konvergencije: Drugi dolazak, ili instrument Lord Kelvin

U više navrata postavilo se pitanje krajem devetnaestog stoljeća, kada su se Fourierov red je htio koristiti za predviđanje intenzitet Ebbs i tokove. U to vrijeme, Lord Kelvin je izmišljen uređaj je analogni kompjuter koji je omogućio mornara mornarica i pomorske monitor je prirodna pojava. Ovaj mehanizam definiran skup faza i amplituda visine tablice plime i odgovarajuće vrijeme trenutke, pažljivo mjereno u luci tijekom cijele godine. Svaki parametar je sinusoidalni visinama komponenta izraz plima i bio je jedan od redovnih komponenti. Rezultati mjerenja su ulaz na računarski uređaj Lord Kelvin, sintezu kriva koja nagovješćuje visina vode u funkciji naredne godine. Vrlo brzo, ove krive izvučeni su se za sve luke svijeta.

A ako proces će biti prekinuta diskontinuirane funkcije?

U to vrijeme, činilo se očigledno da je uređaj predviđaju talas, sa mnogim elementima računa može izračunati veliki broj faza i amplituda, i tako pružaju preciznije predviđanje. Ipak, ispostavilo se da je ovaj obrazac se ne poštuje u slučajevima kada plime izraz koji će biti sintetiziran, sadrži oštar skok, to jest, su diskontinuirane. U slučaju da je aparat za unos podataka iz tablice vremena poena, izračunava nekoliko Fourier koeficijenti. Oporavak u prvobitnu funkciju zbog sinusnih komponente (u skladu sa pronađene koeficijentima). Raskorak između originalne i rekonstruisane izraz se može mjeriti u bilo kojem trenutku. Kada su proračuni ponavljanja i usporedbe može se vidjeti da je vrijednost najveća greška se ne smanjuje. Međutim, oni su lokalizirane u regiji odgovara do tačke pucanja, i bilo koju drugu tačku imaju tendenciju da se nula. 1899. godine, ovaj rezultat je potvrđeno u teoriji Joshua Willard Gibbs na Yale University.

Konvergencija Fourierov red i razvoj matematike u cjelini

Fourierova analiza se ne odnosi na izraze koji sadrži beskonačan broj rafala u određenom intervalu. U principu Fourierov red, ako je originalna funkcija predstavlja rezultat stvarne fizičke mjerenja, uvijek konvergiraju. Pitanja konvergencije ovog procesa za pojedine klase funkcija doveli su do nove grane matematike, kao što je teorija generaliziranih funkcija. To je povezano sa imenima kao što su Schwartz, J .. Mikusiński i J. Hram. U okviru ove teorije, jasan i precizan teorijske osnove za takav izraz je osnovan kao delta funkcija Dirac (opisuje područje jedno područje, koncentrirani u beskrajno susjedstvu tačke) i "step" Heaviside. Kroz ovaj rad Fourierov red postao primjenjiv za rješavanje jednadžbi i problema, koji uključuju intuitivno koncepta: tačka punjenja, tačka mase, magnetski dipoli i koncentriranom opterećenja na gredi.

metoda Fourier

Fourierov red, u skladu sa principima smetnji, početi sa razgradnjom složenih oblika u jednostavnije. Na primjer, promjene u protoku topline zbog prolaska kroz razne prepreke toplote izolacijskog materijala nepravilnog oblika ili promena podloge - potres, promjene u orbitu nebeskih tijela - uticaj planeta. Tipično, ova jednačina koje opisuju jednostavan klasičnom sistemu osnovnih riješen za svaki pojedinačni valne duljine. Fourier je pokazao da jednostavna rješenja može se sumirati kao i za složenije zadatke. Na jeziku matematike, Fourier series - metodologiju za dostavljanje izražavanja zbir harmonika - kosinus i sinus valova. Dakle, ova analiza je također poznat pod imenom "harmonijska analiza".

Fourier series - idealan način za "kompjutersko doba"

Prije stvaranja kompjuterske tehnologije Fourier metoda je najbolje oružje u arsenalu naučnika koji rade sa talasom prirodu našeg svijeta. Fourierov red u složenim obliku omogućava vam da ne samo riješiti jednostavne probleme koji su pogodni za direktnu primjenu Newton zakonima mehanike, ali i osnovnih jednadžbi. Većina otkrića njutnovske znanosti devetnaestog stoljeća postalo je moguće samo zahvaljujući Fourierove metode.

Fourierov red danas

Sa razvojem Fourier transform računala su porasle na novi nivo. Ova tehnika je čvrsto uporište u gotovo svim poljima nauke i tehnologije. Kao primjer, digitalni audio i video. Njegova implementacija je omogućeno samo zahvaljujući teoriji razvio francuski matematičar ranog devetnaestog stoljeća. Dakle, Fourierov red u složenim forma je dozvoljeno da napravi proboj u istraživanju svemira. Osim toga, ona je uticala na studiju fizike poluvodičkih materijala i plazma, mikrovalna akustike, oceanografiju, radar, seizmologije.

Trigonometrijski Fourierov red

U matematici, Fourierov red je način predstavljanja proizvoljne složenih funkcija kao zbir jednostavnije. U principu slučajevima, broj izraza može biti beskonačna. Što je veći broj računa u obračun, točnija konačni rezultat se dobija. Najčešća upotreba jednostavnih trigonometrijskih kosinus ili sinus funkcije. U ovom slučaju, Fourierov red se zove trigonometrijske, a odluka takvih izraza - harmonika raspadanja. Ova metoda ima važnu ulogu u matematici. Prije svega, trigonometrijske serija pruža sredstva za slike, kao i proučavanje funkcija, to je glavna jedinica teorije. Osim toga, to nam omogućava da riješiti niz problema u matematičke fizike. Na kraju, ova teorija je doprinio razvoju matematičke analize, to je dovelo do niza vrlo važna grana matematičke znanosti (teorija integrali, teorija periodičke funkcije). Osim toga, polazište za razvoj sljedeće teorije: garniture, funkcije realne varijable, funkcionalna analiza, i postavio temelje za harmonijska analiza.