Izvod sinus kuta jednaka je kosinus istim uglom

Dana jednostavna trigonometrije funkcija y = sin (x), je diferencijabilno u svakoj tački cijele domene. Moramo dokazati da je izvod sinus bilo kojeg argumenta jednaka je kosinus istog ugla, to jest, '= Cos (x).

Dokaz se temelji na definiciji derivat funkcije

Ćemo definirati x (samovoljno) u nekim malim susjedstvu određene točke x Δh _0. Mi ćemo pokazati vrijednost funkcije u njemu, a na mjestu x pronaći prirast određenu funkciju. Ako Δh - argument povećava, novi argument - to x ₀ + Δx = x, vrijednost ove funkcije za datu vrijednost argumenta (x) jednak sin (x ₀ + Δx), vrijednost funkcije u određenom (x ₀₎ poznat je i .

Sada imamo Δu = sin (x ₀ + Δh)-sin (x ₀₎ - dobila funkcija prirasta.

Prema formuli sinusnih zbroj dva nejednaka ugla ćemo pretvoriti razliku Δu.

Δu = sin (x ₀₎ · Cos (Δh) + Cos (x ₀₎ · Sin (Δx) minus sin (x ₀₎ = (cos (Δx) -1 ) · sin ( x ₀₎ + Cos (x ₀₎ · Sin (Δh).

Obavlja smislu permutacija grupisani prve do treće sin (x _0), izveden je zajednički faktor - sine - konzole. Dobili smo u izrazu Cos razlika (Δh) -1. Je ostavio za promjenu znaka ispred zagrade i konzole. Znajući što je 1-Cos (Δh), možemo napraviti promjene i dobiti pojednostavljen izraz Δu, koji se zatim podijeljena Δh.
Δu / Δh će imati oblik: Cos (x ₀₎ · Sin (Δh) / Δh 2 · sin ² (0,5 x Δh) · sin (x ₀₎ / Δh. To je odnos prirasta funkcije za prijem u prirast argumenta.

Ostaje da se granice odnosa dobijenih nas tokom lim Δh, sa tendencijom na nulu.

Poznato je da je granica Sin (Δh) / Δx je jednak 1, pod uslovom. A izraz 2 · sin ² (0,5 x Δh) / Δh u rezultat sume posebno transformacije proizvod koji sadrži kao prvi multiplikator izuzetan granica: brojnik razlomka i znemenatel podijeliti sa 2, kvadrat sine zamijeniti proizvod. Evo kako:
(Sin (0,5 · Δx) / (0,5 · Δx)) · Sin (Δx / 2).
Granica ovog izraza kada Δh teži nuli, bit će jednak broju nula (0 pomnožen 1). Ispostavilo se da je limit odnos Δy / Δh jednak Cos (x ₀₎ · 1-0, ovo je Cos (x _0), što je izraz koji ne ovisi o Δh, teže 0. Zaključak je da je derivacija sinusa x je jednaka bilo kojeg kuta kosinus x, može pisati kao: y '= Cos (x).

Rezultirajući formula je naveden u tabeli poznatih derivata, gdje sve elementarne funkcije

U rješavanju problema, gdje upoznaje derivat sine, možete koristiti pravila diferencijacije i gotove formule stola. Na primjer: pronaći derivat od najjednostavnijih funkcija y = 3 · sin (x) -15. Mi koristimo osnovnoj pravila derivacije uklanjanje numerički faktor za znak derivata i izračunati derivat konstantan broj (koji je nula). Nanesite sinus stol vrijednost derivat ugla x jednak Cos (x). Dobiti odgovor: y '= 3 · Cos (x) -O. Ovaj derivat, s druge strane, je elementarna funkcija y = H · Cos (x).

Izvod sinus na kvadrat bilo argument

U obračunu izraza (sin ² (x)) 'imati na umu kako diferencirane složene funkcije. Dakle, ² = sin (x) - funkcija vlast kao sine kvadrat. Svoj argument je i trigonometrijske funkcije, složeni argument. Rezultat u ovom slučaju je jednak proizvodu prvog multiplikatora je kvadrat kompleksa derivat argument, a drugi - izvod sine. Evo pravilo za razlikovanje funkcija funkcije: (u (v (x))) "je (u (v (x)))" · (v (x)) '. Ekspresija v (x) - kompleks argument (interna funkcija). Ako date funkcije "y jednak sinus na kvadrat x", a zatim je derivat ovog složenog funkcija je y '= 2 · sin (x) · Cos (x). Proizvod prvog multiplikatora udvostručio - izvod poznat eksponencijalna funkcija, i Cos (x) - derivat sinusa kompleks argument kvadratne funkcije. Krajnji rezultat može biti transformiran od strane koristeći formulu trigonometrijske sinus dvostrukog kuta. A: Derivat je Sin (2 · x). Ova formula je lako zapamtiti, često se koristi kao stol.