Osnovni pojmovi teorije vjerovatnoće. Zakonima teorije verovatnoće

Mnogi ljudi, kada se suoče sa pojmom "teorije vjerovatnoće", uplašen, misleći da je to nešto nedopustivo, jako teško. Ali to je zapravo nije tako tragično. Danas gledamo osnovne pojmove teorije vjerojatnosti, naučiti riješiti probleme konkretnim primjerima.

nauka

Ono što se studira grana matematike kao "teorije verovatnoće"? Ona napominje obrasce slučajnih događaja i varijable. Po prvi put je pitanje zabrinutih naučnika u osamnaestom stoljeću, kada je studirao kockanje. Osnovni pojmovi teorije vjerovatnoće - događaj. To je bilo to da je navedeno iskustvo ili posmatranja. Ali, ono što je iskustvo? Još jedan osnovni koncept teorije vjerojatnosti. To znači da je ovaj dio okolnosti nisu slučajno stvorio, i sa svrhom. Što se tiče nadzora, tu je i istraživač sam ne učestvuje u iskustvu, ali jednostavno svjedok tih događaja, to nema nikakvog utjecaja na ono što se događa.

događaje

saznali smo da je osnovni koncept teorije vjerovatnoće - događaj, ali nije uzeo u obzir klasifikaciju. Svi oni su podijeljeni u sljedeće kategorije:

• Pouzdan.
• Nemoguće.
• Random.

Bez obzira što je događaj, koji se gledao ili nastaju u toku eksperimenta, oni su pogođeni ovom klasifikaciji. Nudimo sve vrste mesa odvojeno.

određeni događaj

To je činjenica na koju da izvrši potrebne niza aktivnosti. Da bi se bolje shvati suština, bolje je dati nekoliko primjera. Ovo je podređen zakonu i fizike, kemije, ekonomije, i više matematike. teorije vjerovatnoće uključuje takav važan koncept kao značajan događaj. Evo nekoliko primjera:

• Radimo i primaju naknadu u obliku plaće.
• Pa položili ispite, prošli konkurs za to primaju naknadu u obliku prijema u obrazovne ustanove.
• Uložili smo novac u banci, da ih ako je potrebno.

Takvi događaji su istinite. Ako smo ispunili sve potrebne uvjete, budite sigurni da se dobije očekivani rezultat.

nemoguće događaj

Sada smo u obzir elemente teorije vjerojatnosti. Nudimo da idem na objašnjenja u sljedeće vrste događaja - a to je nemoguće. Da biste pokrenuli određuju najvažnije pravilo - verovatnoća nemoguće događaj je nula.

Iz ove formulacije ne može se odstupiti u rješavanju problema. Za ilustraciju primjera takvih događaja:

• Voda se zamrznuti na temperaturi od plus deset (to je nemoguće).
• Nedostatak električne energije ne utječe na proizvodnju (kao što je nemoguće, kao u prethodnom primjeru).

Više primeri su dati nije potrebno, kao što je opisano gore vrlo jasno odražava suštinu ove kategorije. Nemoguće događaj nikada ne dešava tokom eksperimenta ni pod kojim okolnostima.

Random događaje

Proučavajući elemenata teorije vjerojatnosti, posebnu pažnju treba posvetiti određenu vrstu događaja. To su oni koji studiraju ovu nauku. Kao rezultat iskustva nešto može dogoditi ili ne. Osim toga, test neograničen broj puta može izvršiti. Istaknuti primjeri uključuju:

• Baci novčić - to je iskustvo, ili test, gubitak orla - ovaj događaj.
• Povlačenjem loptu iz torbe slepo - test, uhvaćen je crvena lopta - ovaj događaj i tako dalje.

Takvi primjeri mogu biti neograničen broj, ali, generalno, treba shvatiti. Da rezimiramo i sistematizaciju stečena znanja o događajima iz tabele. teorije vjerovatnoće studije samo drugom vrstom svih provedenih.

zakoni

teorije vjerovatnoće - nauka koja proučava mogućnost gubitka svakom slučaju. Kao i ostali, ima neka pravila. Sledeći zakoni teorije vjerovatnoće:

• Konvergencije nizova slučajnih varijabli.
• Zakon velikih brojeva.

Prilikom izračunavanja mogućnost kompleksa mogu se koristiti složene jednostavan događaje za postizanje rezultata lakši i brži način. Treba napomenuti da su zakoni teorije vjerovatnoće može lako dokazali uz pomoć nekih od teorema. Predlažemo da počne da se upoznaju sa prvim zakonom.

Konvergencije nizova slučajnih varijabli

Imajte na umu da je konvergencija nekoliko vrsta:

• Slijed slučajnih varijabli konvergencije vjerojatnost.
• Gotovo nemoguće.
• RMS konvergencije.
• Konvergencija u distribuciji.

Dakle, u letu, to je vrlo teško shvatiti suštinu. Evo definicije koje će pomoći da razumiju temu. Za početak prvi pogled. Sekvenca se zove konvergencije u vjerojatnost, ako sljedeće stanje: n približava beskonačnosti, broj traži sekvenca je veća od nule i blizu uređaja.

Idite na sljedeći pogled, gotovo sigurno. Kažu da je niz konvergira gotovo sigurno da slučajne varijable s n teži u beskonačnost, i R, sa tendencijom na vrijednosti blizu jedinstva.

Narednih tipa - konvergenciji RMS. Kada se koristi konvergencije SC-učenje vektor slučajnih procesa svodi na proučavanje slučajnih koordinata procesa.

Je bio posljednji tip, pogledajmo na kratko i da ide direktno na rješenje problema. Konvergencija u distribuciji ima drugo ime - "slabe", a zatim objasniti zašto. Slaba konvergencija - je konvergencija funkcija distribucije na svim tačkama kontinuiteta funkcije distribucije granica.

Budite sigurni da održi obećanje: slab konvergencije je drugačiji od svih gore da je slučajna varijabla nije definirana na vjerojatnost prostor. To je moguće, jer je stanje formira se isključivo pomoću funkcije distribucije.

Zakon velikih brojeva

Veliki pomagač u dokaz zakona će biti teorema teorije vjerojatnosti, kao što su:

• Čebiševljevi nejednakost.
• Čebiševljevi teorema.
• Generalizirani Čebiševljevi teorema.
• Markov teorema.

Ako uzmemo u obzir sve ove teoreme, onda je pitanje može potrajati nekoliko desetina listova. Imamo glavni zadatak - je primjena teorije vjerovatnoće u praksi. Nudimo vam odmah i učiniti. Ali, prije nego što se uzme u obzir aksioma teorije vjerojatnosti, oni su ključni partneri u rješavanju problema.

aksiomi

Od prvog, već smo vidjeli, kada se govori o nemoguće događaju. Sjetimo se: verovatnoća nemoguće događaj je nula. Primjer dali smo vrlo živa i nezaboravno: sneg je pao na temperaturi zraka trideset stupnjeva Celzija.

Drugi je kako slijedi: a određeni događaj se javlja kod jedinstvo vjerojatnost. Sada ćemo pokazati kako je napisano uz pomoć matematičkog jezika: P (B) = 1.

Treće: slučajni događaj može dogoditi ili ne, ali mogućnost je uvijek varira od nula do jedan. Je bliže to je jedinstvo, veće su šanse; ako je vrijednost blizu nule, verovatnoća je vrlo niska. Pišemo ovaj matematičkim jezikom: 0

Uzmite u obzir posljednji, četvrti aksiom, to je: suma verovatnoća dva događaja je jednak zbiru njihovih vjerojatnosti. Napišite matematički smislu: P (A + B) = P (A) + P (B).

Aksioma teorije vjerovatnoće - to je jednostavno pravilo da neće biti teško zapamtiti. Hajde da probamo riješiti neke probleme, na osnovu već stečenog znanja.

srećka

Prvo, uzeti u obzir najjednostavniji primjer - na lutriji. Zamislite da ste kupili tiket za sreću. Koja je vjerojatnost da ćete osvojiti najmanje dvadeset rubalja? Ukupan tiraž je uključen u hiljadu karata, od kojih jedan ima nagradu od pet stotina rubalja, 1000 rubalja, dvadeset i pedeset rubalja, a 100-5. Zadatak teorije vjerojatnosti na osnovu kako pronaći put do sreće. Sada zajedno analiziramo odluku iznad pogled Zadaci.

Ako označimo sa A nagradu od pet stotina rubalja, onda je vjerojatnost A je jednak 0.001. Kako smo dobili? Samo treba broj "sreće" karte podijeljen sa ukupnim brojem (u ovom slučaju: 1/1000).

U - dobitak od stotinu rubalja, verovatnoća će biti jednak 0.01. Sada smo djelovali na isti način kao i prošle akcije (10/1000)

C - isplata je dvadeset rubalja. Pronađite vjerojatnost, ona je jednaka 0,05.

Ostatak karte mi ne zanima, kao njihov nagradni fond je manje nego što je navedeno u stanju. Nanesite četvrti aksiom: Vjerojatnost za osvajanje barem dvadeset rubalja je P (A) + P (B) + P (C). Slovo P označava vjerojatnost nastanka događaja, što u prethodnim koracima već ih našli. Ostaje samo da položi potrebnih podataka, odgovor smo dobili 0.061. Ovaj broj će biti odgovor na pitanje radnih mjesta.

špil karata

Problemi na teoriji vjerojatnosti, postoje i složeniji, na primjer, uzmi sljedeći posao. Prije nego što paluba trideset šest kartica. Vaš zadatak - da bi privukli dvije kartice za redom, bez miješanja gomilu, prvi i drugi kartica mora biti asova, odijela ne bitno.

Za početak, pronašli vjerojatnost da je prva kartica je as, ovo podijeliti četiri i trideset šest. Odložite ga sa strane. Mi smo dobili drugu karticu je as sa vjerovatnoća 335.. Verovatnoća drugog događaja zavisi koju karticu smo izvukli prvi, nas zanima, to je bio kec ili ne. Iz toga slijedi da u slučaju ovisi o događaju A.

Sljedeći korak nalazimo vjerojatnost istovremenog realizacije, odnosno, pomnožite A i B. Njihov rad je kako slijedi: verovatnoća jednog događaja pomnožen uslovna verovatnoća drugog, izračunali smo, pod pretpostavkom da je došlo do prvog događaja, odnosno, prva kartica koje smo izvukli asa.

Da bi postao je sve jasno, dajte oznaka, kao element kao uslovna verovatnoća događaja. Ona se izračunava pod pretpostavkom da je događaj A dogodilo. Ona se izračunava na sljedeći način: P (B / A).

Mi smo proširiti rješenje našeg problema: P (A _* B) = P (A) _* P (B / A) ili P (A _* B) = P (B) _* P (A / B). Je vjerovatnoća (4/36) _* ((3/35) / (4/36) izračunava se zaokruživanje na najbliži stoti Imamo: .. 0.11 _* (0,09 / 0,11) = 0,11 _* 0, 82 = 0.09. vjerojatnost da ćemo izvući dva asa za redom je jednaka 9/100. vrijednost je vrlo mala, slijedi da je vjerojatnost događaja pojave je izuzetno niska.

zaboravio soba

Nudimo napraviti neke više opcija od poslova koje proučava teorija vjerojatnosti. Primjeri rješenja nekih od onih koje smo vidjeli u ovom članku, pokušavaju riješiti sljedeće probleme: Dečak zaboravio broj telefona za poslednja cifra svog prijatelja, ali s obzirom da je poziv bio vrlo važan, a onda je počeo da pokupi svaki sa svoje strane. Moramo izračunati vjerojatnost da će pozvati ne više od tri puta. najjednostavnije rješenje problema, ako znate pravila, zakona i aksioma teorije vjerovatnoće.

Prije nego što vidite rješenje, pokušavaju riješiti sami. Mi znamo da je potonji brojka može biti od nula do devet, za ukupno deset vrijednosti. Vjerovatnoća rezultat potrebno je 1/10.

Sljedeći moramo uzeti u obzir mogućnosti za nastanak događaja, pretpostavimo da je dječak pogodio pravo i osvojio pravo, verovatnoća takvih događaja je jednaka 1/10. Druga opcija: prvi poziv klizanja, a drugi cilj. Mi izračunati vjerojatnost takvih događaja: 9/10 pomnožen 1/9 na kraju smo dobili kao 1/10. Treća opcija: prvi i drugi poziv ispostavilo se da je na pogrešnu adresu, tek treći dječak je gdje je htio. Izračunajte vjerojatnost takvih događaja: 9/10 pomnožena 8/9 i 1/8, dobivamo kao rezultat 1/10. Ostale opcije o stanju problema nismo zainteresovani, to ostaje za nas da položi ove rezultate, na kraju imamo 3/10. Odgovor: vjerojatnost da će dječak pozvati ne više od tri puta, što je jednako 0,3.

Kartice sa brojevima

Prije nego što je devet kartice, od kojih je svaka napisana broj 1-9, brojevi ne ponavljaju. Stavili su u kutiju i dobro promešajte. Potrebno je da izračunati vjerojatnost da je

• valjani paran broj;
• dvocifreni.

Prije prelaska na odluke propisano je da m - broj uspješnih slučajeva, i n - ukupan broj opcija. Neka nas pronaći vjerojatnost da je taj broj paran. Nije teško izračunati da je čak i broj četiri, i to je naša m, svih devet mogućih opcija, to jest, m = 9. Onda je vjerovatnoća jednak 0,44 ili 4/9.

Mi smatramo drugom slučaju, broj varijanti devet, a uspješan ishod ne može biti na sve, to jest, m je nula. Vjerovatnoća da će izdužena kartica sadrži dvoznamenkasti broj, kao nula.