Riemann hipoteza. Distribucija prostih brojeva

1900. godine, jedan od najvećih naučnika prošlog vijeka, David Hilbert napravio listu koja se sastoji od 23 neriješenih problema matematike. Rad na njih je imao ogroman uticaj na razvoj ove oblasti ljudskog znanja. Nakon 100 godina u Clay Matematički institut predstavio listu od sedam problema, poznat kao ciljeve Millennium. Za odluku svakog od njih je ponuđena nagrada od $ 1 milion.

Jedini problem, koji je bio jedan od dva spiska zagonetki, stoljećima nije dao ostatak naučnika, postao je Riemann hipoteza. Ona se još uvijek čeka na svoju odluku.

Kratak biografske podatke

Georg Friedrich Bernhard Riemann je rođen 1826. godine u Hanoveru, u velikoj porodici siromašnog pastora, i imao samo 39 godina živio. On je uspio da objavi 10 radova. Međutim, u toku trajanja Riemann je smatrao nasljednika svog učitelja Johann Gauss. U 25 godina mladi naučnik branio svoju tezu "Osnove teorije funkcija kompleksne varijable." Kasnije je formulisao svoju hipotezu, koja je postala poznata.

prostih brojeva

Matematika je došao kada je čovjek naučio da broji. Onda je nastao prvi ideju o broju, što je kasnije pokušao da klasificirati. Uočeno je da su neki od njih imaju zajedničke osobine. Konkretno, među prirodnim brojevima m. E. Oni koji su korišteni u proračunu (numeracija) ili određeni broj predmeta izdvojeno je grupa takvih koji su podijeljeni samo po jedan i sami. Zvali su ih jednostavno. Elegantan dokaz teorema beskonačnog skupa brojeva dao Euclid u svom "Elementi". U ovom trenutku, mi nastavljamo svoju potragu. Konkretno, najveći broj poznatih ² 74207281 - 1. Detalji

Eulerova formula

Uz pojam beskonačno mnogo prostih brojeva Euklid definisane i drugi teorem jedini mogući faktorizacija. Prema njemu pozitivan broj je proizvod samo jedan skup prostih brojeva. 1737., veliki njemački matematičar Leonhard Euler izrazio prvo Euclid teorema o beskonačnosti formule prikazan u nastavku.

To se zove zeta funkcija, gdje e - konstanta i p je sve jednostavno vrijednosti. Iz njega direktno pratiti i odobrenje jedinstvenosti ekspanzije Euclid.

Riemann zeta funkcija

Eulerova formula na bliže inspekcije je vrlo značajno, kao daje odnos između jednostavnog i cijele brojeve. Na kraju krajeva, u levoj strani se množe beskonačno mnogo izraza koje ovise samo o jednostavnim, au pravu količinu povezana je sa sve prirodne brojeve.

Riemann je na Euler. Kako bi se pronašli ključ za problem distribucije brojeva, predloženo je da se definiše formule i za realne i kompleksne varijable. Ona je bila ta koja je kasnije postala poznata kao Riemann zeta funkcija. 1859. naučnik objavio je članak pod naslovom "Na broj prostih brojeva koji ne prelazi predodređeni vrijednosti", koji sumirao sve svoje ideje.

Riemann je predložio upotrebu broja Euler, konvergentnih za sve realne s> 1. Ako se koristi istu formulu za kompleksne e, onda je serija će konvergirati za bilo koju vrijednost varijable sa realni dio je veći od 1. Riemann koristi analitički nastavak postupka proširivanjem definicije zeta (e) za sve kompleksne brojeve, ali "bacanje" jedinicu. To nije bilo moguće, jer ako s = 1 zeta funkcija raste do beskonačnosti.

praktičnom smislu

Postavlja se pitanje: ono što je zanimljivo i važno zeta funkcija, što je ključno u radu Riemann na nultu hipotezu? Kao što znate, u ovom trenutku nije pronađen jednostavan obrazac koji opisuje raspodjelu prostih brojeva među prirodno. Riemann u stanju da otkrije da je broj pi (x) prostih brojeva, koji nisu superiorna u odnosu na x, izražava distribuciju netrivijalna funkcije nula zeta. Osim toga, Riemann hipoteza je neophodan uslov da bi dokazali privremene evaluacije određenih kriptografskih algoritama.

Riemann hipoteza

Jedan od prvih formulacije ovog matematički problem, nije dokazano da ovaj dan, je: trivijalno 0 zeta funkcija - kompleksne brojeve sa realni dio jednak ½. Drugim riječima, oni su raspoređeni na ravnoj liniji Re s = ½.

Tu je i generalizovati Riemann hipoteza, koja je istu izjavu, ali generalizacija zeta-funkcije, koje se nazivaju Dirichletovi (vidi. Foto ispod) L-funkcije.

U formuli χ (n) - numerički znak (mod k).

izjava Riemann je tzv nulta hipoteza, kao što je potvrđeno je za usklađenost sa postojećim podacima uzorka.

Kao što sam tvrdio Riemann

Napomena njemački matematičar je formulirala prilično nemarno. Činjenica je da je u to vreme naučnik će dokazati teorem o distribuciji prostih brojeva, iu tom kontekstu, ova hipoteza nema mnogo efekta. Međutim, njegove uloge u rješavanju mnogih drugih pitanja je ogromna. Zato je Riemann hipoteza za sada mnogi naučnici priznaju značajnu nedokazanih matematičkih problema.

Kao što je već rekao, dokazati teorem o raspodjeli pune Riemann hipoteza nije potrebno, i sasvim logično dokazati da je realni dio bilo kojeg ne-trivijalne nule funkcije zeta je između 0 i 1. Ova nekretnina implicira da zbir svih 0-m zeta funkcija koje se pojavljuju u egzaktnom formulom gore, - konačni konstanta. Za velike vrijednosti x, sve to može biti izgubljen. Jedini član formule, koji će ostati nepromijenjen čak i na vrlo visokom x, x je sebe. Ostatak kompleksa termina u odnosu na to asimptotski nestati. Dakle, ponderirana suma teži x. Ova činjenica može se smatrati kao dokaz istinitosti prost broj teorem. Dakle, nula funkcije Riemann zeta pojavljuje posebnu ulogu. To je dokazati da ove vrijednosti ne može značajno doprinijeti formulu za proširenje.

Riemann sljedbenika

Tragične smrti od tuberkuloze spriječiti naučnik dovesti do logičnog kraja programa. Međutim, on je uzeo palicu iz W-F. de la Vallée Poussin i Zhak Adamar. Nezavisno jedni od drugih oni su se povukli prost broj teorem. Hadamard i Poussin uspjela dokazati da je sve netrivijalna funkcija 0 zeta se nalaze u kritičnom bend.

Zahvaljujući radu ovih naučnika, novu granu matematike - analitičke teorije brojeva. Kasnije, drugi istraživači su dobili malo više primitivna dokaz teorema je radio u Rimu. Konkretno, Pal Erdös i Atle Selberg otvorili su čak i potvrđuje svoju veoma složen lanac logike, ne zahtijeva korištenje složenih analiza. Međutim, u ovom trenutku ideju Riemann nekoliko važnih teorema nisu dokazane, uključujući i usklađivanje mnogim funkcijama teorije brojeva. U vezi sa ovim novim radom Erdős i Atle Selberg gotovo ništa ne utječe.

Jedan od najjednostavnijih i najljepši dokaz problem je pronađena u 1980. Donald Newman. To je bila zasnovana na poznatim Košijevu teorem.

Ugrožena ako Riemann hipoteza je osnova moderne kriptografije

enkripciju podataka pojavila sa pojavom znakova, odnosno, oni sami se može smatrati kao prvi kod. U ovom trenutku, postoji čitav novi trend digitalnih kriptografija, koja se bavi razvojem algoritama šifriranja.

Jednostavan i "Semisimple" broj m. E. Oni koji su samo podijeljeni u druga dva broja iste klase, osnova su javni ključ sistem, poznat kao RSA. Ima široku primjenu. Konkretno, to se koristi u proizvodnji elektronskog potpisa. Ako govorimo u smislu dostupnih "čajnik", Riemann hipoteza tvrdi postojanje sistema u distribuciji prostih brojeva. Prema tome, značajno smanjen otpor kriptografskih ključeva, od kojih zavisi sigurnost online transakcija u e-trgovini.

Drugih neriješenih matematičkih problema

Kompletan članak vrijedi posvetio nekoliko riječi na druge poslove milenijuma. Oni uključuju:

• Jednakost klasa P i NP. Problem je formuliran na sljedeći način: ako je potvrđen pozitivan odgovor na dato pitanje u polinomijalnom vremenu, onda je to istina da je on sam odgovor na ovo pitanje može se brzo naći?
• Hodge nagađanja. Jednostavno rečeno može se reći kako slijedi: za neke vrste projektivne algebarskih mnogostrukosti (razmaka) Hodge ciklusi su kombinacija objekata koji imaju geometrijska interpretacija, odnosno algebarski ciklusa ...
• Poincaré pretpostavka. To je jedina dokazana na probleme trenutku milenijuma. Prema njemu bilo trodimenzionalni objekt koji imaju specifične osobine 3-sfere, sfere moraju biti tačne na deformacije.
• Usvajanje kvantne Yang - Mills teorija. Mi moramo dokazati da kvantnu teoriju, iznijela ove naučnici prostoru R ^4, postoji 0 mase defekt za bilo jednostavno kalibraciju kompaktnog grupe G.
• Hipoteza o Birch - Swinnerton-Dyer. Ovo je još jedan problem koji je relevantan za kriptografiju. To se odnosi na eliptične krivulje.
• Problem postojanja i glatkoću rješenja Navier - Stokes jednadžbe.

Sad znaš Riemann hipoteza. Jednostavno rečeno, formulirali smo i neke od drugih ciljeva milenijuma. Činjenica da će biti riješen ili je dokazano da oni nemaju rješenje - to je pitanje vremena. A ovo je vjerovatno morati čekati predugo, što je matematika sve više koriste računarske snage računala. Međutim, nije sve zavisi od umjetnosti i da riješe naučnih problema prije svega zahtijeva intuiciju i kreativnost.