Wolf-Bragg formula. Difrakcija na prostornoj rešetki

U ovom članku se daje formula Wolf-Bragg, proučava se njegov značaj za savremeni svet. Opisane su metode ispitivanja materije, koje su postale moguće zbog otkrivanja difrakcije elektrona na čvrstim materijama.

Nauka i konflikti

Činjenica da se različite generacije ne razumeju jedni druge, Turgenev je napisao u romanu "Očevi i sinovi". I istina je: porodica živi stotinu godina, deca poštuju starešine, podržavaju jedni druge, a onda se sve više i više menja. A sve je u pitanju nauka. Nije ni čudo što je katolička crkva toliko suprotstavljena razvoju prirodnog znanja: svaki korak može dovesti do nekontrolisane promjene u svijetu. Jedno otkriće menja ideju higijene, a sada stariji izgledaju iznenađujuće kako njihovi potomci operu ruke pre nego što jedu i četkicu zube. Bake neodobreno rukuju glavom: "Zašto, bez života su živjeli, a ništa, rodili su dvadeset djece. A sve ovo je tvoja čistoća samo na štetu zla. "

Jedna pretpostavka o lokaciji planeta - i već na svakom koraku, mladi obrazovani ljudi razgovaraju o satelitiima i meteorima, teleskopima i prirodi Mlečnog puta, a starija generacija je nezadovoljna: "Glupost je sve što se koristi od svemira i nebeskih sfera, kakva je razlika, kako se rotira Mars i Venera, radije bi raste krompir, sve bi bilo korisnije. "

Jedan prodor u tehnologiju, što je postalo moguće zahvaljujući činjenici da je difrakcija poznata na rešetkama, a u svakom drugom džepu je pametni telefon. Istovremeno, stariji ljudi mrmljaju: "U ovim brzim izveštajima nema ništa dobro, oni nisu kao prava pisma." Međutim, paradoksalno zvuči, vlasnici različitih uređaja ih doživljavaju kao neku vrstu realnosti, skoro kao vazduh. I malo ljudi razmišlja o mehanizmima njihovog rada i ogromnom načinu na koji je ljudska misao učinila dve ili tri stotine godina.

U zoru dvadesetog veka

Krajem XIX veka čovečanstvo se suočilo sa problemom proučavanja svih otvorenih fenomena. Verovalo se da je sve već poznato u fizici i ostaje samo da sazna detalje. Međutim, otkriće Plankove kvante i diskretnosti mikrotalasnih stanja bukvalno je promenilo stare ideje o strukturi materije.

Otkrića pala jedan za drugim, istraživači su izvukli ideje jedan od drugog iz svojih ruku. Hipoteze su nastale, testirane, diskutovane, odbačene. Jedno rešeno pitanje postavilo je stotinu novih, a bilo je puno ljudi spremnih da traže odgovore.

Jedna od prekretnica koja je promenila percepciju sveta bila je otkrivanje dvojne prirode elementarnih čestica. Bez njega formula Wolf-Bragg se ne bi pojavila. Takozvani dualizam korpuskularnog talasa objašnjava zašto se u nekim slučajevima elektron ponaša kao telo koje ima masu (to jest, česticu, česticu), au drugim je to kao razdvojeni talas. Naučnici su se dugo vremena zalagali dok nisu došli do zaključka da objekti mikroorlda istovremeno poseduju takva drugačija svojstva.

U ovom radu opisujemo Wulf-Bragg zakon, što znači da nas zanima talasna svojstva elementarnih čestica. Za specijaliste, ova pitanja su uvek dvosmislena, jer prevazilaženje veličine praga nanometra, gubimo sigurnost - Princip Heisenberg stupa na snagu. Međutim, kod većine problema postoji dovoljno gruba aproksimacija. Zbog toga je neophodno početi da objašnjava neke osobine dodavanja i oduzimanja običnih talasa, koje su dovoljno jednostavne da zamišljaju i razumeju.

Valovi i sinusi

Malo u detinjstvu voleo je takav deo algebre kao trigonometrija. Sinusi i kosinusi, tangente i kotangensi imaju svoj sistem dodavanja, oduzimanja i drugih transformacija. Možda deci nije jasno, tako da nije zanimljivo proučavati. I mnogi su se pitali zašto je ovo sve neophodno, u kojem delu običnog života, ovo znanje se može primeniti.

Sve zavisi od toga koliko je radozna osoba. Neko ima dovoljno znanja o tipu: sunce sija tokom dana, mesec noću, voda je mokra i kamen je čvrst. Ali tu su i oni koji su zainteresovani za to kako je sve uređeno da osoba vidi. Za neodređene istraživače objašnjavamo: najviše koristi od proučavanja osobina talasa je, čudno, fizika elementarnih čestica. Na primer, difrakcija elektrona podudara se sa ovim zakonima.

Za početak, radite na mašti: zatvorite oči i pustite talas da vas izvlače.

Zamislite beskonačni sinusoid: bulge, šuplje, bulge, šuplje. Ništa se ne menja, rastojanje od vrha jednog barkhana do drugog je isto kao i svuda. Nagib linije, kada ide od maksimuma do minimuma, je isti za svaki deo ove krivine. Ako postoje dva identična sinusoida pored jedne druge, onda zadatak postaje sve komplikovaniji. Difrakcija na prostornoj rešetki direktno zavisi od dodavanja nekoliko talasa. Zakoni njihove interakcije zavise od nekoliko faktora.

Prva je faza. Dijelovi koje ove dve krive ispunjavaju. Ako se njihovi maksimumi podudaraju sa poslednjim milimetrom, ako su kosine krive identične, svi indikatori se udvostručuju, grbovi postaju dva puta veći, a šuplje postaje dvostruko duboko. Ako naprotiv - maksimalna kriva pada na minimum od druge, onda se talasi otmenjuju, sve oscilacije prelaze na nulu. A ako se faze ne poklapaju samo delimično - to jest, maksimum jedne krivine pada u porast ili pad drugog, onda slika postaje prilično komplikovana. Generalno, Wolf-Bragg formula sadrži samo ugao, kako će se videti kasnije. Međutim, pravila interakcije talasa će pomoći u potpunosti ostvariti svoj zaključak.

Druga je amplituda. Ovo je visina grbova i šupljina. Ako jedna kriva ima visinu od jednog centimetra, a druga ima dva inča, onda ih treba dodati u skladu s tim. To jest, ako maksimalni talas dva santimetra visoka pada striktno na minimum talasa s visinom od jednog centimetra, onda se ne gasi jedni druge, ali samo visina perturbacija prvog talasa opada. Na primer, difrakcija elektrona zavisi od amplitude njihovih oscilacija, što određuje njihovu energiju.

Treća je frekvencija. Ovo je razdaljina između dvije identične tačke krive, na primjer, maxima ili minima. Ako su frekvencije drugačije, onda se u nekom trenutku dve krive poklapaju, respektivno, i potpuno se sabiraju. Već u sledećem periodu to se ne dogodi, krajnji maksimum postaje niži i niži. Tada maksimum jednog talasa pada strogo na minimum od drugog, dajući najmanji rezultat sa takvim preklapanjem. Rezultat, kako vi shvatate, takođe će biti vrlo složen, ali periodičan. Slika će se ponoviti ranije ili kasnije, i ponovo će se poklopiti dva maksimuma. Stoga, uz nametanje talasa sa različitim frekvencijama, pojavljuje se nova oscilacija sa varijabilnom amplitudom.

Četvrta je pravac. Obično, kada se razmatraju dva identična talasa (u našem slučaju, sinusoidi), pretpostavlja se da su automatski paralelni jedni sa drugima. Međutim, u stvarnom svijetu sve je drugačije, pravac može biti u trodimenzionalnom prostoru. Stoga se samo paralelni talasi povećavaju ili oduzimaju. Ako se kreću u različitim pravcima, među njima nema interakcije. Zakon Vulf-Bragga upravo stoji na činjenici da se dodaju samo paralelne grede.

Interferencija i difrakcija

Međutim, elektromagnetno zračenje nije baš sinusoidno. Princip Huygensa kaže da svaka tačka medijuma kojoj je dosegla talasna fronta (ili perturbacija) je izvor sekundarnih sfernih talasa. Stoga, u svakom momentu razmnožavanja, recimo, od svjetlosti, talasi se uvijek nadmoćuju jedno na drugo. Ovo je mešanje.

Ova pojava je razlog zbog kojeg posebno svetlost i elektromagnetski talasi uglavnom mogu da preklope prepreke. Poslednja činjenica se naziva difrakcija. Ako se čitalac ne sjeća ovoga iz škole, predlažemo da dva slota na tamnom ekranu, osvijetljena običnim bijelim svjetlom, daju kompleksan sistem maksima i minima osvjetljenja, tj. Trake neće biti identične, već različitih i različitih intenziteta.

Ako zračimo trake s svetlom, ali se bombardiramo čvrstim elektronima (ili, recimo, alfa česticama), dobijamo potpuno istu sliku. Elektroni se mešaju i difraktiraju. Ovo je manifestacija njihove talasne prirode. Treba napomenuti da je Wulf-Braggova difrakcija (koja se često naziva Braggovom difrakcijom) sastojala u jakom rasipanju talasa periodičnim rešetkama kada se faza incidenta i rasutih talasa podudaraju.

Čvrsto telo

Sa ovom frazom, svako može imati svoje udruženja. Međutim, čvrsto tijelo je dobro definisana grana fizike koja ispituje strukturu i osobine kristala, naočara i keramike. Prethodno je poznato samo zato što su naučnici jednom razvili osnove strukturne analize rendgenskih zraka.

Dakle, kristal je stanje materije kada jezgra atoma zauzmu strogo definisanu poziciju u prostoru relativno jedni prema drugima, a slobodni elektroni, poput elektronskih školjki, generalizuju. Glavna karakteristika čvrste materije je njegova periodičnost. Ako je čitač nekada bio zainteresovan za fiziku ili hemiju, slika kristalne rešetke stonog soli (naziv mineralnih halita, formula NaCl) verovatno će se pojaviti u njegovoj glavi.

Dve vrste atoma su veoma bliske, formiraju prilično gustu strukturu. Nato i hlor alternativno, formiraju u sve tri dimenzije kubni rešetke, čije strane su okomitljive jedna prema drugoj. Tako je period (ili jedinična ćelija) kocka u kojoj su tri vertices atoma jedne vrste, ostale tri su iste. Postavljanjem takvih kockica jedni na druge, može se dobiti beskonačni kristal. Svi atomi koji se nalaze u dve dimenzije periodično formiraju kristalografske ravni. To jest, jedinična ćelija je trodimenzionalna, ali jedna od strana, koja se više puta ponavlja (u idealnom slučaju - beskonačan broj puta), formira posebnu površinu u kristalu. Ove površine su veoma brojne i one rade paralelno jedni sa drugima.

Interplanarsko rastojanje je važan indikator koji određuje, na primer, jačinu čvrste materije. Ako je u dve dimenzije ova rastojanje je mala, au trećem - velikom, onda se supstanca lako razbije. Ovo karakteriše, na primer, sljunka, koja je zamenila ljude staklom u prozoru.

Kristali i minerali

Međutim, kamena sol je vrlo jednostavan primer: samo dve vrste atoma i razumljiva kubična simetrija. Odsek geologije, koji se zove mineralogija, istražuje kristalna tela. Njihova specifičnost je da jedna hemijska formula uključuje 10-11 vrsta atoma. A njihova struktura je neverovatno složena: tetrahedra, povezivanje sa kockama sa vertikama iz različitih uglova, formiraju porozne kanale različitih oblika, otočića, kompleksne šahove ili cikcakove veze. Ovo je, na primer, struktura neverovatno lijepog, prilično retkog i čisto ruskog ukrasnog kamena šarota. Njegovi ljubičasti obrasci su tako lepi da mogu okrenuti glavu - odatle ime minerala. Ali čak iu najbolj zbunjenoj strukturi paralelno su jedni druge kristalografske ravni.

I to omogućava, zahvaljujući prisustvu difrakcije elektrona na kristalnoj rešetki, da otkriju njihovu strukturu.

Struktura i elektroni

Da bi adekvatno opisali metode ispitivanja strukture materije zasnovane na elektronskoj difrakciji, može se zamisliti da se loptice bacaju u kutiju. I onda izračunajte koliko je lopti odskočilo i po kojim uglovima. Zatim, u pravcima u kojima većina lopti odskakuje, procenjuju oblik kutije.

Naravno, ovo je gruba ideja. Ali, prema ovom grubom modelu, pravac u kojem se najveći broj loptica odbija je maksimalni difrakcija. Dakle, elektroni (ili rendgenski zraci) bombarduju površinu kristala. Neki od njih su "zaglavljeni" u suštini, ali drugi se odražavaju. A ogledaju se samo iz kristalografskih ravni. Pošto avion nije jedan, ali ih ima mnogo, dodaju se samo reflektovani talasi paralelni jedni sa drugima (o čemu smo razgovarali). Tako se dobija signal u obliku spektra, gde intenzitet refleksije zavisi od ugla incidencije. Maksimalni difraktogram ukazuje na prisustvo ravni u uglu koji se ispituje. Dobijena slika se analizira kako bi se dobila tačna kristalna struktura.

Formula

Analiza se vrši prema određenim zakonima. Oni se zasnivaju na Wolf-Braggovoj formuli. Izgleda ovako:

2d sinθ = nλ, gde:

• D je međuplanarna daljina;
• Θ - ugao klizanja (ugao, dodatak uglu odsjaja);
• N je red veličine difrakcije (pozitivni cijeli broj, tj. 1, 2, 3 ...);
• Λ je talasna dužina incidentnog zračenja.

Kao što čitalac vidi, čak ni ugao nije uzet direktno u studiji, već dodatni za to. Vrijedno je objasniti pojedinačno o vrijednosti n, koja se odnosi na koncept "difrakcijskog maksimuma". Formula interferencije sadrži i pozitivan cijeli broj koji određuje koji red se posmatra.

Osvetljavanje ekrana u eksperimentu sa dva utora, na primjer, zavisi od kosinusa razlike puta. Pošto je kosinus periodična funkcija, nakon tamnog ekrana u ovom slučaju ne postoji samo glavni maksimum, već i nekoliko slabijih traka na njegovim stranama. Mi živimo u idealnom svetu, koji je potpuno podložan matematičkim formulama, takvi bendovi bi bili beskonačan broj. Međutim, u stvarnosti je broj posmatranih sjaja područja uvijek ograničen i zavisi od talasne dužine, širine proreza, udaljenosti između njih i svjetlosti izvora.

Pošto je difrakcija direktna posledica talasne prirode svetlosti i elementarnih čestica, odnosno prisustva interferencije, Wulf-Bragg formula takođe sadrži red veličine difrakcije. Inače, ova činjenica je u početku u velikoj mjeri otežavala izračunavanje eksperimenata. U ovom trenutku, sve transformacije povezane sa preokretom aviona i izračunavanje optimalne strukture difrakcionim obrascima vrše mašine. Takođe izračunavaju koji su vrhovi nezavisni fenomeni, a koji su drugi ili treći poredak glavnih linija na spektrima.

Pre uvođenja računara sa jednostavnim interfejsom (relativno jednostavno, kao programi za različite kalkulacije - svi isti sofisticirani alati), sve je to učinjeno ručno. Uprkos relativnom lakonizmu koji poseduje Wulf-Braggova jednačina, potrebno je puno vremena i napora da se utvrdi istina dobijenih vrednosti. Naučnici su proverili i ponovo proverili - da li je došlo do iskrivljenog izvlačenja gde je neki neprincipijelni maksimum, koji bi mogao pokvariti proračune.

Teorija i praksa

Izuzetno otkriće, koje su istovremeno obavljali Wulf i Bragg, dala je neophodan alat u rukama čovečanstva da istraži strukture čvrste supstance sakrivene ranije. Međutim, kao što znate, teorija je dobra stvar, ali se u praksi sve uvek ispostavlja da je malo drugačije. Malo više je bilo o kristalima. Međutim, svaka teorija ima idealni slučaj. To je beskonačan prostor bez defekta u kojem se ne krše zakoni ponavljanja strukture.

Međutim, stvarni, čak i vrlo čisti i odrasli u laboratorijama, kristalne supstance obiluju defekti. Među prirodnim formacijama za ispunjavanje idealne šeme je velika sreća. Stanje Wolf-Bragga (izraženo gornjom formulom) primenjuje se za stvarne kristale u sto procenata slučajeva. Za njih, u svakom slučaju, postoji takav nedostatak kao površina. I neka se čitalac ne sme zbuniti apsurdom ove izjave: površina nije samo izvor defekata, već i sam nedostatak.

Na primjer, energija veza unutar krize se razlikuje od analogne vrijednosti graničnih zona. To znači da je neophodno uvesti vjerovatnoće i posebne praznine. To jest, kada eksperimentatori uklone spektar refleksije elektrona ili rendgen zraka iz čvrste supstance, ne dobijaju samo veličina ugla, već ugao sa greškom. Na primjer, θ = 25 ± 0,5 stepeni. Na grafikonu ovo se izražava činjenicom da je maksimalni difraktik (formula koja leži u Wulff-Bragg jednačini) ima širinu, i predstavlja traku, a ne idealno tanka linija, striktno umesto dobijene vrijednosti.

Mitovi i greške

Dakle, šta se dešava, sve što naučnici dobiju je netačno ?! Do neke mere. Kada izmerite temperaturu i nađete 37 na termometru, to takođe nije potpuno tačno. Temperatura vašeg tela razlikuje se od stroge vrednosti. Ali za vas je glavna stvar da je neobično, da ste bolesni i da je vreme da se lečite. A vama i vašem doktoru nije uopšte važno šta je termometar pokazao na 37.029.

Dakle, u nauci - dok god greška ne ometa donošenje nedvosmislenih zaključaka, uzima se u obzir, ali naglasak je na glavnom značaju. Pored toga, statistika pokazuje: dok je greška manja od pet procenata, može se zanemariti. Dobijeni rezultati u eksperimentima za koje je stanje Wulf-Bragg ispunjeno takođe imaju grešku. Naučnici koji vrše obračune, po pravilu, to ukazuju. Međutim, za specifičnu aplikaciju, drugim riječima, razumijevanje strukture kristala, greška nije vrlo važna (sve dok je ona mala).

Treba napomenuti da svaki uređaj, čak i školski vladar, uvek ima grešku. Ovaj indikator se uzima u obzir u merenjima i, ako je potrebno, ulazi u ukupnu grešku rezultata.