Neodređeni integral. Proračun neodređeni integrali

Jedan od osnovnih sekcija matematičke analize je integralni račun. To pokriva vrlo široko polje objekata, gdje je prvi - to je neodređeni integral. Pozicija stoji kao ključ koji je još u srednjoj školi otkriva sve veći broj perspektive i mogućnosti, koji opisuje više matematike.

izgled

Na prvi pogled, čini se potpuno sastavni moderan, aktuelan, ali u praksi se ispostavilo da je on vratio u 1800 prije nove ere. Dom službeno smatra Egipat kao nije nas ranije dokaze o njegovom postojanju. To zbog nedostatka informacija, sve dok postavljeni samo kao fenomen. On je još jednom potvrđuje nivo naučnog razvoja naroda tog vremena. Na kraju, radovi su pronađena starogrčke matematičari, koje datiraju iz 4. stoljeću naše ere. Oni opisuju metoda koja se koristi u kojoj je bio da se obim ili površini od krivolinijskih oblika (trodimenzionalni i dvodimenzionalnoj ravni, respektivno) neodređeni integral, čija je suština. Proračun je zasnovan na principu podjele originalne figure u beskrajno komponenti, pod uslovom da količina (područje) je već poznato da ih. Tokom vremena, metoda je narasla, Arhimed je koristio za pronalaženje područje parabole. Slične kalkulacije u isto vrijeme za obavljanje vježbe u drevnoj Kini, gdje su bili potpuno nezavisan od grčkog kolege nauke.

razvoj

Narednih proboj u XI stoljeću pne postao rad arapskih učenjaka "karavan" Abu Ali al-Basri, koji je gurnuo granice već poznato, su izvedeni iz integralne formule za izračunavanje sume iznosa i diplome od prvog do četvrtog, apliciraju za ovaj poznati nama indukcija metoda.
Umova današnjice divili drevni Egipćani stvorio izvanredan spomenika bez posebnih alata, osim onih od svoje ruke, ali se nije moć ludi naučnici vremena ni manje ni čudo? U usporedbi sa sadašnjim vremenima njihove živote čini gotovo primitivno, ali je odluka na neodređeno integrali zaključiti svuda i koriste u praksi za dalji razvoj.

Sljedeći korak je održan u XVI stoljeću, kada je italijanski matematičar Cavalieri doveo nedjeljiva metoda, koja pokupio po Ferma. Ove dvije ličnosti postavio temelje za modernu integralnog računa, koji je poznat u ovom trenutku. Vezali koncepte diferencijacije i integracije, koji su ranije bili vide kao jedinice samostalni. Sve u svemu, matematika to vreme bio fragmentiran čestice nalaze postoje sami, sa ograničenim upotrebu. Način da se ujedine i pronađu zajednički jezik bio jedini pravi u ovom trenutku, zahvaljujući njemu, moderne matematičke analize su imali priliku da rastu i razvijaju se.

Sa protokom vremena sve se menja i sastavni simbol kao dobro. Sve u svemu, to je bio određen naučnici koji na svoj način, na primjer, Newton koristio ikona kvadrat, što staviti integrabilna funkciju, ili jednostavno zajedno. Ova razlika je trajala sve do XVII stoljeća, kada je orijentir za čitavu teoriju matematičke analize naučnika Gotfrid Leybnits uveo takav karakter nam poznate. Produžen "S" se zapravo zasniva na ovo pismo od rimskog alfabeta, jer označava zbir primitive. Ime sastavni dobila zahvaljujući Jakob Bernoulli, nakon 15 godina.

Formalni definicija

Neodređeni integral ovisi o definiciji primitivnih, pa smatramo da je na prvom mjestu.

Antiderivaciju - inverzna funkcija derivata, u praksi to se zove primitivno. U suprotnom: primitivna funkcija d - je funkcija D, koji je derivat v <=> V '= v. Pretraživanje primitivna je izračunati neodređeni integral, a sam proces se zove integracija.

primjer:

Funkcija s (y) = y ^3, a primitivni S (y) = (y ^4/4).

Skup svih primitivaca funkcije - ovo je neodređeni integral, označen je na sljedeći način: ∫v (x) dx.

Na osnovu činjenice da V (x) - samo su neke primitivne prvobitnu funkciju, izraz drži: ∫v (x) dx = V (x) + C, gdje je C - konstanta. Pod konstanta se odnosi na bilo konstanta, jer je izvedena je nula.

svojstva

Svojstva koje posjeduje neodređeni integral, u suštini na osnovu definicija i svojstva derivata.
Uzmite u obzir ključne tačke:

• sastavni derivat primitivne je primitivna po sebi plus konstanta C <=> ∫V '(x) dx = V (x) + C;
• derivat integral funkcije je originalna funkcija <=> (∫v (x) dx) '= v (x);
• konstanta je izveden ispod sastavni znak <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, gdje je k - proizvoljno;
• integral, koji je preuzet iz suma identično jednaka zbiru integrali <=> ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

Zadnja dva svojstva može se zaključiti da je neodređeni integral je linearna. Zbog toga, imamo: ∫ (kV (y) dy + ∫ LW (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

Da biste vidjeli primjere fiksiranje rješenja neodređeni integrali.

Morate pronaći integral ∫ (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Iz primjera možemo zaključiti da ne znate kako riješiti neodređeni integrali? Samo pronaći sve primitivci! Ali potraga za principe raspravlja ispod.

Metode i primjeri

U cilju rješavanja integralnog, možete posegnuti za sljedeće metode:

• spremni da iskoriste stola;
• integrirajući po dijelovima;
• integrirana zamjenom varijabla;
• sumirajući pod znakom diferencijala.

stolovi

Najjednostavniji i ugodan način. U ovom trenutku, matematička analiza se može pohvaliti prilično opsežne tablice, što napišete osnovne formule neodređeni integrali. Drugim riječima, postoje šabloni izvedena do vas i možete uzeti samo prednost od njih. Ovdje je popis glavnih stola pozicije, koja se može prikazati gotovo svakom slučaju, ima rješenje:

• ∫0dy = C, gdje je C - konstanta;
• ∫dy = y + C, gdje je C - konstanta;
• ∫y ⁿ dy = (y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, gdje je C - konstanta, a n - broj različit od jedinstva;
• ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, gdje je C - konstanta;
• ^{∫e y dy = e y + C} , gdje je C - konstanta;
• ^{∫k y dy = (k g /} ln k) + C, gdje je C - konstanta;
• ∫cosydy = siny + C, gdje je C - konstanta;
• ∫sinydy = -cosy + C, gdje je C - konstanta;
• ∫dy / cos ² y = TGY + C, gdje je C - konstanta;
• ∫dy / sin ² y = -ctgy + C, gdje je C - konstanta;
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, gdje je C - konstanta;
• ∫chydy = stidljiva + C, gdje je C - konstanta;
• ∫shydy = Chy + C, gdje je C - konstanta.

Ako je potrebno, napraviti nekoliko koraka dovesti integrand za tabelarni prikaz i uživajte u pobjedu. PRIMJER: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) D (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C.

Prema odluci, jasno je da na primjer sto integrand nedostaje multiplikator 5. dodamo paralelno sa ovom Množenje sa 1/5 na opšti izraz nije mijenjao.

Integracija po dijelovima

Razmislite o dvije funkcije - Z (y) i x (y). Oni moraju biti neprekidno diferencijabilna na svojoj domeni. U jednom diferencijacija svojstva imamo: D (XZ) = XDZ + Zdx. Integracija obje strane, dobijamo: ∫d (XZ) = ∫ (XDZ + Zdx) => ZX = ∫zdx + ∫xdz.

Prepisivanjem rezultat jednadžbe, dobijamo formulu koja opisuje metodu parcijalne integracije: ∫zdx = ZX - ∫xdz.

Zašto je to potrebno? Činjenica da su neki od primjera moguće je da se pojednostavi, recimo, da se smanji ∫zdx ∫xdz, ako je ovo drugo u neposrednoj blizini formi tabelarnog. Također, ova formula se može koristiti više puta, za optimalne rezultate.

Kako riješiti neodređeni integrali na ovaj način:

• potrebno izračunati ∫ (s + 1) e ^2s ds

∫ (x + ^{1) e 2s ds = {z =} s + 1, DZ = ds, y = 1 ^{/ 2e 2s, dy = e 2x} ds} = ((s + 1) e ^2s) / 2-1 / 2 ∫e ^2s dx = ((s + 1) e ^2s) / 2-e ^2s / 4 + C;

• mora izračunati ∫lnsds

∫lnsds = {z = LNS, dz = ds / s, y = e, dy = ds} = SLNS - ∫s x ds / s = SLNS - ∫ds = SLNS -s + C = S (LNS-1) + C.

Vraćanje varijabla

Ovaj princip rješavanja neodređeni integrali nisu ništa manje potražnje od prethodna dva, iako komplikovana. Metoda je kako slijedi: Neka V (x) - integral neke funkcije v (x). U slučaju da se samo po sebi sastavni u Primeru slozhnosochinenny dođe, vjerovatno će se zbuniti i spustiti se pogrešnim putem rješenja. Da bi se izbjegla ova promjena prakse iz varijable x z, u kojoj je opšti izraz vizualno pojednostavljen uz održavanje z ovisno o x.

U matematičkom smislu, ovo je kako slijedi: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y -1 (x)), gdje je x = y ( z) - izmjene. I, naravno, inverzna funkcija z = y ^-1 (x) u potpunosti opisuje odnos i odnos varijabli. Važna napomena - diferencijalni dx nužno zamijeniti novim diferencijal dz, s obzirom na promjenu varijabla u neodređeni integral podrazumijeva se zamjena svuda, ne samo u integrand.

primjer:

• mora pronaći ∫ (s + 1) / (s ² + 2s - 5) ds

Izvršiti zamenu z = (s + 1) / (s ² + 2s-5). Onda dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) ds = dz / 2. Kao rezultat toga, sljedeće izraz, što je vrlo lako izračunati:

∫ (s + 1) / (s ² + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s ² + 2s-5 | + C;

• morate pronaći sastavni ∫2 ^e e ^S DX

Da se riješi prepisati u sljedećem obliku:

^{∫2 e e e ds = ∫ (} 2e) s ds.

Označimo strane = 2e (zamjena argument ovaj korak nije, ona je i dalje e), dajemo naizgled komplikovan sastavni osnovnim tabelarni oblik:

^{∫ (2e) s ds = ∫a} e ds = S / lna + C = (2e) s / ln (2e) + C = 2 ^s e ^s / ln (2 + lne) + C = 2 ^s e ^s / (LN2 + 1) + C.

Sumirajući diferencijalni znak

Sve u svemu, ova metoda neodređeni integrali - brat blizanac princip promjene varijable, ali postoje razlike u procesu registracije. Razmotrimo detaljnije.

Ako ∫v (x) dx = V (x) + C i y = z (x), a zatim ∫v (y) dy = V (y) + C.

U isto vrijeme ne smijemo zaboraviti trivijalne integralne transformacije, među kojima su:

• dx = d (x + a), i pri čemu - svaka konstanta;
• dx = (1 / a) d (ax + b), gdje je - konstanta ponovo, ali nije nula;
• xdx = 1 / 2d (x ² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Ako uzmemo u obzir opštem slučaju gdje smo izračunati neodređeni integral, primjeri se mogu podvesti pod opšte formule w '(x) dx = dw (x).

primjeri:

• mora pronaći ∫ (2s + 3) ² ds, ds = 1 / 2d (2 s + 3)

∫ (2s + 3) ² ds = 1 / 2∫ (2 s + 3) ² d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) h (2 s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (Coss) / Coss = -U | Coss | + C.

online pomoć

U nekim slučajevima, greška koja može postati ili lijenost, ili hitna potreba, možete koristiti online upite, odnosno da koristite kalkulator neodređeni integrali. Uprkos očiglednom složenost i kontroverzne prirode integrali, odluka je u skladu sa svojim specifičnim algoritam, koji se temelji na principu "ako ne ... onda ...".

Naravno, posebno zapetljan primjeri takvih kalkulatora neće ovladati, jer postoje slučajevi u kojima je odluka mora naći umjetno "prisiljeni" uvođenjem pojedinih elemenata u tom procesu, jer su rezultati su očigledni načini da se postigne. Uprkos kontroverzne prirode ove izjave, to je istina, kao što je matematika, u principu, apstraktna nauka, a njen primarni cilj smatra da je potreba da se osnaži granica. Zaista, za miran rad-u teorijama je vrlo teško kretati se i razvijaju, tako da ne pretpostavljaju da je primjere rješavanja neodređeni integrali, koji nam je dao - ovo je visina mogućnosti. Ali, vratimo se na tehničku stranu stvari. Barem za provjeru proračuna, možete koristiti usluge u kojima je pisalo da nas. Ako postoji potreba za automatski obračun složenih izraza, onda oni ne moraju posegnuti za ozbiljniji softver. Treba obratiti pažnju prvenstveno na životnu sredinu MATLAB-u.

aplikacija

Odluka neodređeni integrali na prvi pogled čini potpuno odvojen od stvarnosti, jer je teško vidjeti očigledno korištenje aviona. Zaista, direktno ih koriste nigdje ne možeš, ali su neophodni srednji element u procesu povlačenja rješenja koja se koriste u praksi. Dakle, integracija leđa diferencijacije, na taj način aktivno učestvuju u procesu rješavanja jednadžbi.
S druge strane, ove jednadžbe imaju direktan utjecaj na odluku mehaničkih problema, proračun putanju i toplotne provodljivosti - ukratko, sve ono što čini sadašnjost i oblikovanju budućnosti. Neodređeni integral, primjeri koje smo smatrali gore, trivijalno samo na prvi pogled, kao osnova za obavljanje više i više novih otkrića.