Russell je paradoks: osnovne informacije, primjere, formulacije

Russell paradoks je dva međusobno zavisni logično antinomija.

Dva oblika Russell paradoks

Najčešće raspravlja obliku kontradikcija u logici setovima. Neki od seta izgleda samih članova, i drugi - ne. Skup svih skupova je sama po sebi skup, pa se čini da se odnosi na sebe. Null ili prazan, međutim, ne bi trebalo da bude član sebe. Dakle, skup svih skupova, kao nula nije uključena u sebe. Paradoks nastaje kada je pitanje da li je skup član samog sebe. To je moguće ako i samo ako to nije tako.

Drugi oblik paradoks je kontradikcija u pogledu svojstva. Neka svojstva, izgleda pogledajte sami, a drugi nisu. Imovina biti vlasništvo samo po sebi imovine, a imovina bilo da je to mačka nije. Uzmite u obzir imovinu imaju imovine koja ne pripada njemu. ako se odnosi na sebe? Opet, bilo koja od pretpostavki treba da bude suprotno. Paradoks je dobio ime u čast Bertrand Russell (1872-1970), koji ga je otkrio 1901. godine.

priča

Otvaranje Russell je došlo tokom rada na "Principi matematike". Iako je nezavisno otkrio paradoks, postoje dokazi da drugi matematičara i programera teorije skupova, uključujući i Ernst Zermelo i David Hilbert, bili svjesni prve verzije kontradikcija pred njim. Russell je, međutim, bio je prvi koji je detaljno razmotrio paradoks u svojim objavljenim radovima, prvi put pokušao da formuliše rješenja i prvi koji će u potpunosti cijeniti njegov značaj. Čitav poglavlje "principima" je bio posvećen raspravi o ovom pitanju, a aplikacija je posvećen teoriji tipova, koji Russell predložila kao rješenje.

Russell otkrio "paradoks lažov ', s obzirom na Kantorova teorije skupova koji kaže da je manji od skupa svojih podskupova moć bilo koji skup. Barem u domenu treba da bude što više podskupovi koliko ima elemenata u njoj, ako je postavljeno jedan podskup svakog elementa sadrži samo taj element. Osim toga, Cantor dokazao da broj elemenata ne može biti jednak broju podskupova. Ako je bilo isto toliko, morao bi postojati ƒ mogućnost da će prikazati elemente na podgrupe. Istovremeno se može dokazati da je to nemoguće. Neki proizvodi možda će biti prikazane na funkciju ƒ podskupove koji ih sadrže, a drugi ne mogu.

Razmotrite podskup elemenata koji ne pripadaju njihovoj slike, u kojima su prikazali ƒ. To je samo po sebi podskup elemenata, a samim tim, ƒ funkcija će prikazati ga na element u domeni. Problem je u tome onda se postavlja pitanje da li je ovaj element pripada podskup na koje se prikazuje ƒ. To je moguće samo ako se ne pripada. Russell paradoks se može vidjeti kao primjer istoj liniji razmišljanja, samo pojednostavljena. Što je više - setova ili podskupovi skupa? Čini se da ne bi trebalo biti više skupova, kao i sve podgrupe samih setova. Ali ako Cantor teorema je istina, onda ne bi trebalo biti više podskupovi. Russell smatra jednostavno prikazati setove na sebi i primijeniti kantoriansky pristup s obzirom na skup svih tih elemenata, izvan seta u kojem su prikazane. Prikazano Russell postaje skup svih skupova, ne.

greška Frege

"Paradoks je lažov" je imao veliki utjecaj na povijesni razvoj teorije skupova. On je pokazao da je vrlo problematičan koncept univerzalni set. On je doveo u pitanje ideju da za svaki definisani stanje ili predikat može pretpostaviti postojanje mnoštva samo one stvari koje zadovoljavaju ovaj uslov. Opcija paradoks u vezi sa svojstvima - prirodni nastavak u setovima verzija - podiže ozbiljne sumnje o tome da li je moguće da se raspravljati o objektivno postojanje imovine ili univerzalni usklađenosti na svaki određuje stanje, ili predikat.

Ubrzo su pronađeni kontradikcije i problemi u radu logičara, filozofa i matematičara koji su dali slične pretpostavke. Godine 1902., Russell je utvrdio da je varijanta paradoks može se izraziti u logičan sistem, razvijen u tomu I Gottloba Frege je "Temelji aritmetike", jedan od glavnih radova na logici krajem XIX - početkom XX stoljeća. U filozofiji Frege mnogi shvatiti kao "proširenje" ili "vrijednost klasa" koncept. Koncepti su najbliži onima korelata. Od njih se očekuje da postoji za bilo koju stanja ili predikata. Prema tome, postoji pojam skupa, koji ne potpadaju pod njegovu definiranja koncepta. Tu je i klasu definiše ovaj koncept, i to je predmet definiranja svojim konceptom samo ako to nije slučaj.

Russell je pisao Frege o sukobu u Jun 1902 Korespondencija je postao jedan od najuzbudljivijih i govori u povijesti logike. Frege je odmah prepoznao katastrofalnim posljedicama paradoksa. On je, međutim, da je verzija kontroverze u vezi sa svojstvima u svojoj filozofiji je riješen razliku između pojmova nivoa.

Frege pojam shvaćen kao prelazak sa argumente funkcije na TRUE. Koncepata prvi nivo uzimajući kao argumente objekata koncepata drugom nivou uzeti kao argumenti te funkcije, i tako dalje. Prema tome, pojam nikada ne može uzeti sebe kao argument, a paradoks u smislu svojstva ne mogu se formulisati. Bez obzira na setovima, proširenje ili koncepata Frege shvatiti kao da se odnosi na istu logično tipa kao da je od svih drugih objekata. Onda za svaki set postavlja se pitanje da li to spada pod pojam definiranja to.

Kada Frege, Russell je dobio prvo pismo, drugog toma "Osnove aritmetike" već završen ispis. Bio je prisiljen da brzo pripremiti aplikaciju koja daje odgovor na paradoks Russell. Primjeri Frege sadrži niz mogućih rješenja. Ali on je došao do zaključka da slabi pojam apstrakcije koja se nalazi u logičkom sistemu.

U originalnom, bilo je moguće da se zaključiti da je objekat pripada skupu ako i samo ako to spada u pojam, definira ga. Revidirani sistem može samo zaključiti da je objekat pripada skupu ako i samo ako to spada u pojam definisanja pluralnosti, ali nije postavljen u pitanju. Russell je paradoks nastaje.

Rješenje, međutim, nije u potpunosti zadovoljan Frege. I to je bio razlog. Nekoliko godina kasnije, složeniji oblik suprotnosti je utvrđeno za revidirani sistema. Međutim, čak i prije nego što se to desilo, Frege odustao od svoje odluke i čini se da dođe do zaključka da je njegov pristup bio jednostavno neupotrebljive, a ta logika će morati bez ikakvih setova.

Ipak, drugi su predložene, relativno uspješan alternativna rješenja. Ovi su u daljem tekstu.

Teorija tipova

Uočeno je iznad toga Frege bio adekvatan odgovor na paradokse teorije skupova u verziji formulirana za svojstva. odgovor Frege je prethodilo je najčešće raspravlja rješenje za ovaj oblik paradoksa. Ona se temelji na činjenici da su svojstva su predmet različitih vrsta i koja vrsta imovine nikada nije isti kao i stavke na koje se odnosi.

Prema tome, čak ni postavlja se pitanje, da li je imovina primjenjuje na sebe. Logičan jezik, koji razdvaja elemente takve hijerarhije, koristeći teoriju tipova. Iako se već koriste Frege, prvi put je u potpunosti objašnjeno i potkrijepljeni Russell u Aneksu "princip". Teorija tipova je potpunije nego razlika nivoa Frege. Ona je zajednička svojstva nisu samo različite vrste logike, ali i postaviti. tip teorija za rješavanje kontradikciju u paradoks Russell slijedi.

U cilju da bude filozofski adekvatan, usvajanje teorije vrsta nekretnina zahtijeva razvoj teorije o prirodi svojstva, tako da bi moglo da objasni zašto se ne može primijeniti na sebe. Na prvi pogled, ima smisla da predikatna svoju imovinu. Svojstvo da je samo-identitet, čini se, to je također samo-identiteta. Imovina izgleda lijepo ugodan. Na isti način, po svemu sudeći, čini se lažno reći da je imovina kao mačka je mačka.

Ipak, razni mislioci opravdati podjelu različitih vrsta. Russell čak dao različita objašnjenja u različitim vremenima u svojoj karijeri. Sa svoje strane, obrazloženje za odvajanje različitih koncepata nivoa Frege dolazi iz njegove teorije nezasićenih koncepata. Koncepti kao funkcija, u suštini, su nepotpuni. Pružiti vrijednost, potrebno im je argument. Ne možete samo jedan koncept predikatna koncept istog tipa, jer je još uvijek zahtijeva argument. Na primjer, iako je moguće da se kvadratni korijen kvadratni korijen broja, ne možete samo koristiti kvadratni korijen funkciju kvadratnom korijenu funkcija i dobiti rezultat.

O konzervativizma svojstva

Drugo moguće rješenje je paradoks svojstva negaciju svojstava postojanje ni pod kojim određenim uslovima, ili dobro formiran predikata. Naravno, ako netko izbjegava metafizičke osobine i objektivne i nezavisne elemente u cjelini, ako uzmemo nominalizma paradoks može u potpunosti izbjeći.

Međutim, za rješavanje antinomija ne mora biti tako ekstremno. Logika višeg reda sistema razvijen Frege i Russell, sadrže ono što se zove konceptualna načelo, prema kojem je svaki otvoreni formule bez obzira na to koliko je složen postoji kao dio imovine ili koncept na primjer, samo one stavke koje odgovaraju formulu. oni su primijenili na atribute svaki mogući niz uslova ili predikata, bez obzira na složenost jesu.

Ipak, bilo je moguće da se rigoroznije metafizike svojstva, dajući pravo na objektivno postojanje jednostavnih svojstava, uključujući, na primjer, kao što su crvene boje, čvrstinu, ljubaznost i tako dalje. D. Možete čak i pustiti ove osobine odnose se na sebe, kao što su ljubaznost može budu ljubazni.

I isti status za složene atributa može biti odbijen, na primjer, takve "properties" kao da ima sedamnaest-glave, biti pisane pod vodom i sl. D. U ovom slučaju, ne predodređena stanje ne zadovoljava imovinu, shvaćen kao zasebno postojeći element, koji ima svoje osobine. Tako se ne može poreći postojanje jednostavnih svojstava be-imovinsko-da-ne-primjenjuje do sebe i izbjeći paradoks primjenom konzervativniji metafizički svojstva.

Russell je paradoks: rješenje

Iznad konstatovano je da je na kraju svog života Frege potpuno napušten logika skupova. To je, naravno, jedan rješenje antinomije u obliku kompleta: jednostavna poricanje postojanja takvih elemenata u cjelini. Osim toga, postoje i drugi popularan izbor, osnove koje su prikazane ispod.

Teorija za mnoge vrste

Kao što je ranije spomenuto, Russell je igrao za potpuniju teoriju tipova, koji bi dijeliti ne samo svojstva ili koncepte na različite vrste, ali i postaviti. Russell shared postavljena na mnoštvo odvojenih jedinica, mnoštvo setova odvojenih objekata, itd seta objekata nisu uzeti u obzir, kao i mnoštvo setova - .. Kompleti. Mnogo nikada uživali tipa, omogućava vam da imate kao član sebe. Stoga ne postoji skup svih skupova koji nisu članovi svoje, jer je za bilo koji niz pitanja o tome da li je kao član, je sama po sebi vrsta prekršaja. Opet, pitanje je da se objasni skupova metafizike da objasni filozofske temelje podjele na tipove.

stratifikacija

Godine 1937., V. V. Kuayn je ponudio alternativno rješenje, na sličan način na teoriju tipova. Osnovne informacije o tome jesu.

Odvajanje setovi i drugi element. Izrađen tako da je pretpostavka za pronalaženje pluralnosti uvijek je netočna ili besmislena. Setovi može pružiti samo kad definisanje njihovih uslovi nisu tip prekršaj. Prema tome, za Quine, izraz "x nije član x" je smislena izjava ne ukazuju na postojanje skup svih elemenata x koji zadovoljava ovaj uvjet.

U ovom setu sistemu postoji neka otvorena formula A ako i samo ako je stratificiran, t. E. Ako je varijabla je dodijeljen prirodni brojevi takvi da za svaki karakterističan pojava u mnogim koji mu prethodi varijabla je dodijeljen imenovanje jedne manje nego varijabla, sljedeće nakon njega. Time se blokira Russell je paradoks, budući da je formula koja se koristi za određivanje set problema, tu je isti prije i nakon varijable znak članstvo čineći ga neslojevitih.

Ali to nema još da se utvrdi da li je sistem rezultat, koji Quine naziva "novim osnovama matematičke logike" dosljedan.

odbacivanje

Sasvim drugačiji pristup uzima u teoriji Zermelo - Fraenkel (ZF). Ovdje, previše, postavite ograničenje o postojanju setova. Umjesto toga, pristup "top-down" Russell i Frege, koji je u početku mislio da je za sve koncepte, svojstva, ili stanja mogu upućivati na postojanje skup svih stvari s ovu nekretninu ili da ispuni takvom stanju, u ZF-teoriji, sve počinje "odozdo".

Pojedinih elemenata prazan skup i formiraju set. Dakle, za razliku od ranijih sistema i Russell Frege FIT ne pripada univerzalni set koji uključuje sve elemente, pa čak i sve setovima. ZF postavlja stroga ograničenja o postojanju setova. Mogu postojati samo one za koje se jasno postulira ili koji može biti formuliran pomoću iterativnog procesa i sl. D.

Onda, umjesto koncepta apstrakcije naivna u kojem se navodi da je određeni element uključen u komplet ako i samo ako ispunjava uslove u principu odvajanja koristi DF, razdvajanje ili "sortiranje". Umjesto pod pretpostavkom postojanja skup svih elemenata koji su, bez izuzetka, zadovoljiti određene stanju, za svaki postojeći set Aussonderung ukazuje na postojanje podskup svih elemenata u originalnom setu koji zadovoljava uslov.

Zatim dolazi apstrakcija princip: ako postoji skup A, onda, za sve x iz A, x pripada podskup A, koji zadovoljava uslov ako i samo ako je x zadovoljava uslov C. Ovaj pristup rješava paradoks Russell, jer ne možemo jednostavno pretpostaviti to jest, skup svih skupova koji nisu članovi sami.

Imati puno setova, možete odabrati ili podijeliti ga u setovima, koji su sami po sebi, a oni koji nisu takvi, ali s obzirom da ne postoji univerzalni skup nismo vezani skup svih skupova. Bez preuzimanja problem postavlja Russell suprotnosti se ne može dokazati.

druga rješenja

Osim toga, bilo je naknadna produženja ili izmjene ovih rješenja, kao što je teorija "Principi matematike" proširenje sistema "matematičkoj logici" Quine, kao i najnovija dostignuća u teoriji skupova vilica tipa, napravljen Bernays, Gödel i von Neumann. Postavlja se pitanje da li je odgovor na nerastvorljivo paradoks Bertrand Russell pronađena, je još uvijek predmet rasprave.