Realni brojevi i njihova svojstva

Pitagora je tvrdio da je broj temelj svijeta u rangu sa glavnim elementima. Platon vjerovao da je broj linkova fenomena i noumenon, pomažući da zna, da se teška i da bi privukli zaključke. Aritmetički dolazi od riječi "arifmos" - broj, polazište u matematici. Moguće je da se opisati svaki predmet - od osnovnih do jabuke apstraktne prostore.

Potreban kao faktor razvoja

U početnim fazama razvoja društva potrebama ljudi ograničen potrebom da se zadrži rezultat - .. Jedna vreća žita, dva torba žitarica, itd Da biste to uradili, to je prirodnih brojeva, skup koji je beskonačnom nizu prirodnih brojeva N.

Kasnije, razvoj matematike kao nauke, bilo je potrebno u određenom području cijelih brojeva Z - uključuje negativne vrijednosti i nula. Njegov nastup na domaćem nivou, to je bio isprovociran činjenicom da je početna računovodstva morali nekako popraviti dugova i gubitaka. Na naučnom nivou, negativni brojevi su napravili je moguće riješiti jednostavne linearne jednadžbe. Između ostalog, to je sada moguće sliku trivijalan koordinatnom sistemu, tj. A. Bilo je referentna tačka.

Sljedeći korak je potreba za ulazak razlomcima, jer znanost ne stoji i dalje, sve više i više novih otkrića tražio teorijsku osnovu za novi rast push. Dakle, bilo je polje racionalnih brojeva P

Konačno, više ne ispunjava zahtjeve racionalnosti, jer su sve nova otkrića zahtijevaju opravdanje. Bilo je polje realnih brojeva R, radovi Euklidovih Nesamerljivost određene količine zbog njihove iracionalnosti. To je, drevni grčki matematičar pozicioniran ne samo broj kao konstanta, već kao apstraktna vrijednost koja se odlikuje odnos neuporedive veličine. S obzirom na činjenicu da postoje realni brojevi, "vidjeli smo svjetlo" vrijednosti kao što su "pi" i "e", bez koje moderne matematike nije mogao uzeti mjesto.

Konačni inovacija je kompleksan broj C. je odgovorio na niz pitanja i demantovao ranije ušao postulata. Zbog brzog razvoja ishod algebra je predvidljiv - s realnim brojevima, odluka mnogih problema nije bilo moguće. Na primjer, zahvaljujući kompleksnih brojeva isticao teorije struna i haos proširio jednadžbi hidrodinamike.

Set Theory. kantor

Koncept beskonačnosti uvek izazvala kontroverze, jer je bilo nemoguće dokazati ili opovrgnuti. U kontekstu matematike, kojim upravlja strogo verifikovan postulata, to manifestuje se najočiglednije, više da je teološki aspekt još uvijek težio u nauci.

Međutim, kroz rad matematičar Georg Cantor svih vremena došlo na svoje mesto. On je dokazao da je beskonačno setova postoji beskonačan skup, te da je na terenu R veći od polja N, neka njih i da nema kraja. Sredinom XIX stoljeća, njegove ideje javno pozvao gluposti i zločin protiv klasične nepromjenjivi kanonima, ali vrijeme će staviti sve na svoje mjesto.

Osnovna svojstva polja R

Stvarni broj ne samo da imaju iste osobine kao i podmozhestva da oni uključuju, ali su dopunjeni drugim masshabnosti na osnovu njegovih elemenata:

• Zero R. postoji i pripada polju C + = c 0 za bilo c R.
• Nula postoji i pripada polju R. c x 0 = 0 za bilo c R.
• Odnos C: D kada postoji d ≠ 0 i važi za bilo koji c, d R.
• Polje R naredio, i.e. ako je c ≤ d, d ≤ c, onda c = d za bilo c, d R.
• Osim toga u polju R je komutativna, i.e. C + D = d + C, za bilo c, d R.
• Množenje u polju R je komutativna, i.e. x C x d = d c za sve c, d R.
• Osim toga u polju R je asocijativna i.e. (c + d) + f = c + (d + f) za bilo C, D, F R.
• Množenje u polju R je asocijativna i.e. (c x D) x F = C x (d x f) za bilo C, D, F R.
• Za svaki broj terenskih R suprotno tamo, tako da je c + (-c) = 0, gdje je c, -C od R.
• Za svaki broj terenskih R postoji njezina inverzna, tako da je c x c ^-1 = 1 gdje je c, c ^-1 R.
• Jedinica postoji i pripada R, tako da je C x 1 = c, za bilo c R.
• Ona ima distribuciju zakon moći, tako da C x (d + f) = c x D + C x F, za bilo C, D, F R.
• Polje R je nula nije jednaka jedinstvo.
• Polje R je tranzitivni: ako je c ≤ d, d ≤ F, onda c ≤ f za bilo C, D, F R.
• U cilju R i toga su međusobno povezani: ako je c ≤ d, onda c + f ≤ D + F za sve C, D, F R.
• U cilju R i umnožavanje linked: 0 ≤ c, 0 ≤ d, zatim 0 ≤ c x D za bilo c, d R.
• Kao negativne i pozitivne realne brojeve su kontinuirano, i.e., za bilo c, d R F, postoji od R, koji c ≤ f ≤ d.

Modul polje R

Stvarne brojke uključuju takva stvar kao modul. Određena je kao | F | za bilo F u R. | F | = F, ako je 0 ≤ F i | f | = -f, ako je 0> f. Ako uzmemo u obzir modul kao geometrijski vrijednost, to je distanca - nije važno, "položio" vas kao nula u negativnog u pozitivan ili naprijed.

Složen i realnih brojeva. Koje su sličnosti i razlike?

Sve u svemu, složene i realne brojeve - oni su jedno te isto, osim što je prvi pridružio imaginarna jedinica i, na trgu koji je jednak -1. Elementi polja R i C može biti predstavljen sljedeće formule:

• c = d + f x i, pri čemu d, f pripadaju polju R, a ja - imaginarna jedinica.

Da biste dobili c R f u ovom slučaju jednostavno pretpostavlja da je nula, tj, postoji samo realni dio broja. Jer je polje kompleksnih brojeva ima istu funkciju postavljen kao polje realnih, F x i = 0 ako je f = 0.

Što se tiče praktične razlike, na primjer, u polju R kvadratna jednadžba se ne mogu riješiti ako diskriminativnih je negativan, dok je C okvir ne nameće ovo ograničenje uvođenjem imaginarna jedinica i.

rezultati

"Bricks" aksioma i postulata na kojima se u bazu matematike, ne mijenjaju. Na nekim od njih zbog povećanja informacija i uvođenje novih teorija plasirao sljedeće "cigle", što u budućnosti može postati osnova za sljedeći korak. Na primjer, prirodnih brojeva, uprkos činjenici da su podskup realnog polja R, ne gubi na relevantnosti. To je za njih osnova svih osnovnih aritmetičkih, koji počinje sa znanjem čovjek mira.

Sa praktične tačke gledišta, realni brojevi izgledaju kao ravna linija. Moguće je izabrati pravac, da se identifikuje porijekla i teren. Direktno se sastoji od beskonačnog broja bodova, od kojih svaka odgovara jednom realan broj, bez obzira da li ili ne racionalno. Iz opisa jasno je da se radi o konceptu, koji se temelji matematike u cjelini, i matematičke analize posebno.